Unterschied gleichmäßig stetig und Epsilon-Delta-Stetig

Question

wundert mich, dass ich hier noch keine Frage hierzu finden konnte - vielleicht hab ich was übersehen.

Folge Definitionen haben wir zur Stetigkeit:

Ich sehe keinen Unterschied.... ?! Mir wurde mal gesagt, dass bei einer ein Epsilon fest ist, und bei der anderen beliebig oder so. Das müsste aber ja auch irgendwie in der Definition erkennbar sein, oder?

LG

Answer 1

ε-δ Stetigkeit ist eine Eigenschaft, die man einer Funktion an einer einzigen Stelle x₁ zuschreiben kann. Das ist für gleichmäßige Stetigkeit nicht der Fall. In den Definitionen siehst du das daran, wo x₁ gebunden wird. Bei der ε-δ Stetigkeit ist das bereits in den Voraussetzungen der Fall, bei der gleichmäßigen Stetigkeit erst im Allquantor.

Für Beweise hat das die Konsequenz, dass du bei der ε-δ-Stetigkeit die Stelle  x₁ heranziehen darfst um ein passendes δ zu finden, während du es bei der gleichmäßigen Stetigkeit nicht darfst.

Zusammengefasst:

        ε-δ-Stetigkeit von f:

            ∀x₁: ∀ ε>0: ∃ δ > 0 : ∀x : d(x, x₁) < δ ⇒ d(f(x), f(x₁)) < ε

        gleichmäßige Stetigkeit:

            ∀ ε>0: ∃ δ > 0 : ∀x₁ : ∀x : d(x, x₁) < δ ⇒ d(f(x), f(x₁)) < ε

Answer 2

In der zweiten Definition hängt das δ nur von ε und der betrachteten Stelle x1

ab. Also kann es für jedes x1 bei Vorgabe eines   ε  ein anderes  δ  geben.

Bei der 1. Def. muss  es bei Vorgabe eines ε ein  δ geben, das für alle

x1 und x1_Schlange die Bedingung erfüllt.

Das wird leicht deutlich bei der Funktion mit f(x) = x² .

Die ist zwar bei jedem x1 aus ℝ stetig, aber nicht auf ganz ℝ

gleichmäßig stetig.

siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit#Beispiele