Potenzreihen - Summe nxn - Quotientenkriterium - Beweis

Question

Guten Tag MatheLounge,

undzwar habe ich hier in meinem Mathebuch(Analysis 1 - Otto Forster) einen Beweis der mit dem Quotientenkriterum durchgeführt wird, bei dem ich nicht auf die Lösung komme, rechne hier schon wie verrückt.

$$\sum_{n=0}^{\infty} nx^n = \frac{n+1}{n}|x| \rightarrow lim(n\rightarrow\infty) \rightarrow |x|$$

Meine Rechnung:

$$\sum_{n=0}^{\infty} nx^n$$
$$= \frac{(n+1)x^{n+1}}{nx^n}$$

$$= \frac{n(\frac{n}{n}+\frac{1}{n})x^n}{n(\frac{n}{n})x^n}$$
$$= \frac{(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})x^n} {(\frac{n}{n})x^n}$$
$$= \frac{\frac{nx^n}{n}+\frac{x^n}{n}} {\frac{nx^n}{n}} \, | \,mit\, Kehrwert\, multiplizieren$$
$$= \frac{\frac{n^2x^n}{n^2x^n}+\frac{nx^n}{n^2x^n}}{\frac{n^2x^n}{n^2x^n}}$$
$$= \frac{1+\frac{nx^n}{n^2x^n}}{1}$$
$$= 1+\frac{nx^n}{n^2x^n}$$

Ab hier komme ich nicht weiter bzw. habe das Gefühl, dass ich einen Fehler gemacht habe.
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

BlackFrost

Answer 1

Hi BlackFrost,

Mit den Quotientenkriterium konvergiert die Reihe für alle |x| < 1.

Beste Grüße
gorgar

Comments

Gerne! Ist bei uns auch gerade Thema :-)

Answer 2

xⁿ⁺¹ / xⁿ => x¹

da die Reihe mit xⁿ zu tun hat würde ich fast davon ausgehen, dass es um den Konvergenzradius geht.

Ich sehe mal in meiner privat Bib nach, ob ich den Forster habe!

Comments

Was er in diesem Fall mit |x| sagen möchte ist eigentlich, dass der Konvergenzbereich bzw. der Konvergenradius ganz von x abhängt!

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Danke sehr, habe es nun besser verstanden.
Nochmals vielen Dank!

BlackFrost