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komme bei der Aufgabe nicht weiter. Hat irgendjemand eine Idee?

A,B sind symmetrische nxn Matrizen in R. Zeige, dass wenn A und B positiv definit sind mit A2=B2 und AB=BA, dass A=B gilt.

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Es ist A+B ebenfalls positiv definit symmetrisch und (A+B)·(A-B)=0.

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Aloha :)

Für A,BRn×n\mathbf A,\mathbf B\in\mathbb R^{n\times n} gelte A2=B2\mathbf A^2=\mathbf B^2 und AB=BA\mathbf{AB}=\mathbf{BA}, dann gilt auch:0=A2B2=A2+BABA=0B2=A2+BAAB=BAB2\mathbf 0=\mathbf A^2-\mathbf B^2=\mathbf A^2+\underbrace{\mathbf {BA}-\mathbf {BA}}_{=\mathbf 0}-\mathbf B^2=\mathbf A^2+\mathbf{BA}-\underbrace{\mathbf{AB}}_{=\mathbf{BA}}-\mathbf B^20=(A+B)(AB)\mathbf 0=(\mathbf A+\mathbf B)(\mathbf A-\mathbf B)

Da A\mathbf A und B\mathbf B beide positiv definit und symmetrisch sind, gilt für alle Vektoren xRn\vec x\in\mathbb R^n:xT(A+B)x=xTAx>0+xTBx>0>0\vec x^T(\mathbf A+\mathbf B)\vec x=\underbrace{\vec x^T\mathbf A\vec x}_{>0}+\underbrace{\vec x^T\mathbf B\vec x}_{>0}>0Also ist auch A+B\mathbf A+\mathbf B positiv definit. Daher ist (A+B)(\mathbf A+\mathbf B) invertierbar, sodass:(A+B)10=(A+B)1(A+B)(AB)(\mathbf A+\mathbf B)^{-1}\cdot\mathbf 0=(\mathbf A+\mathbf B)^{-1}\cdot(\mathbf A+\mathbf B)\cdot(\mathbf A-\mathbf B)0=1(AB)\mathbf 0=\mathbf 1\cdot(\mathbf A-\mathbf B)A=B\mathbf A=\mathbf B

Avatar von 153 k 🚀

Warum gilt denn

0  = (A + B)(A - B)  ⇒  A = -B ∨ A = B

?

Stimmt, oh wie peinlich!!!

Wir sind ja bei Matrizen.

Ich habe noch eine andere Idee... und korrigiere das gleich.

Danke für den Hinweis ;)

Gut gemacht!

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