Zeige, dass wenn A und B positiv definit sind mit A^2=B^2 und AB=BA, dass A=B gilt.

Question

komme bei der Aufgabe nicht weiter. Hat irgendjemand eine Idee?

A,B sind symmetrische nxn Matrizen in R. Zeige, dass wenn A und B positiv definit sind mit A^2=B^2 und AB=BA, dass A=B gilt.

Comments

Es ist A+B ebenfalls positiv definit symmetrisch und (A+B)·(A-B)=0.

Answer 1

Aloha :)

Für \(\mathbf A,\mathbf B\in\mathbb R^{n\times n}\) gelte \(\mathbf A^2=\mathbf B^2\) und \(\mathbf{AB}=\mathbf{BA}\), dann gilt auch:$$\mathbf 0=\mathbf A^2-\mathbf B^2=\mathbf A^2+\underbrace{\mathbf {BA}-\mathbf {BA}}_{=\mathbf 0}-\mathbf B^2=\mathbf A^2+\mathbf{BA}-\underbrace{\mathbf{AB}}_{=\mathbf{BA}}-\mathbf B^2$$$$\mathbf 0=(\mathbf A+\mathbf B)(\mathbf A-\mathbf B)$$

Da \(\mathbf A\) und \(\mathbf B\) beide positiv definit und symmetrisch sind, gilt für alle Vektoren \(\vec x\in\mathbb R^n\):$$\vec x^T(\mathbf A+\mathbf B)\vec x=\underbrace{\vec x^T\mathbf A\vec x}_{>0}+\underbrace{\vec x^T\mathbf B\vec x}_{>0}>0$$Also ist auch \(\mathbf A+\mathbf B\) positiv definit. Daher ist \((\mathbf A+\mathbf B)\) invertierbar, sodass:$$(\mathbf A+\mathbf B)^{-1}\cdot\mathbf 0=(\mathbf A+\mathbf B)^{-1}\cdot(\mathbf A+\mathbf B)\cdot(\mathbf A-\mathbf B)$$$$\mathbf 0=\mathbf 1\cdot(\mathbf A-\mathbf B)$$$$\mathbf A=\mathbf B$$

Comments

Warum gilt denn

0  = (A + B)(A - B)  ⇒  A = -B ∨ A = B

?

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Stimmt, oh wie peinlich!!!

Wir sind ja bei Matrizen.

Ich habe noch eine andere Idee... und korrigiere das gleich.

Danke für den Hinweis ;)

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Gut gemacht!