Integration x^x , x^{-x} auf ]0 , 1]

Question

Ich komme beim letzten Teil c folgender Aufgabe nicht weiter. (a) und (b) bauen aufeinander auf und auch (c)

Zu (a) gehört eine Induktion zur der Aussage : n ∈ N₀ , f :]0 , ∞[ → R mit   f_n(x) = x^a (-ln(x))ⁿ 

Und es gilt für ₀ ∫¹  = f_n(x) dx = n! / (a+1)ⁿ⁺¹ sowie f_n(x) → 0  für x → 0   , sowie a := reelle Konstante

Teil (b) : $$(b)\\ \\ Zeigen\quad Sie:\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ -x } } \quad =\quad \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ n } }  }$$

------------------------------------------------

$$\\ { x }^{ y }\quad =\quad { e }^{ yln(x) }\\ \\ { e }^{ x }\quad =\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } \\ \\ { x }^{ -x }\quad =\quad { e }^{ -xln(x) }\quad =\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } \\ $$

$$Sei\quad R\quad mit\quad der\quad Maximumsnorm\quad versehen.\quad Nach\quad 1.5.18\quad ist\quad (R\quad ,\quad { \left\|  \right\|  }_{ \infty  })\quad ein\quad Banachraum.\\ \\ { f }_{ n }\quad :\quad ]0\quad ,\quad 1]\quad \rightarrow \quad R\quad ,\quad { f }_{ n }(x)=\quad -\frac { { (xln(x)) }^{ n } }{ n! } \\ \\ { \left\| { f }_{ n }(x) \right\|  }_{ \infty  }\quad =\quad \frac { { (xln(x)) }^{ n } }{ n! } \quad \le \quad \frac { { (xln(x)) }^{ n } }{ n! } \quad \le \quad \frac { { (x*x) }^{ n } }{ n! } \quad =\quad \frac { { x }^{ 2n } }{ n! } \quad \le \quad \frac { { x }^{ n } }{ n! } \\ \\ so\quad dass\quad für\quad das\quad Supremum\quad gilt:\quad sup\left\{ { \left\| { f }_{ n }(x) \right\|  }_{ \infty  }\quad ,\quad x\quad \in \quad ]0\quad ,\quad 1] \right\} \quad \le \quad \frac { { x }^{ n } }{ n! } \quad \\ \\ Für\quad den\quad Wert\quad dieser\quad Reihe\quad ist:\quad \quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } \quad =\quad { e }^{ x }\quad \\ Damit\quad ist\quad \quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } \quad eine\quad konvergente\quad Majorante\quad für\quad \quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } .\\ \\ Nach\quad dem\quad Majorantenkriterium\quad 2.6.8.\quad konvergiert\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } \quad \\ gleichmäßig\quad auf\quad ]0\quad ,\quad 1].\\ \\ \\ \\ \\ { f }_{ n }\quad =\quad \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! } \quad ist\quad Riemann-integrierbar \quad (uneigentlich)\quad auf\quad ]0\quad ,\quad 1]\quad und\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } \\ konvergiert\quad gleichmäßig\quad gegen\quad s\quad \in \quad Abb(]0\quad ,\quad 1],\quad R)\\ \\ Satz\quad 5.1.16\quad ist\quad anwendbar\quad und\quad demnach\quad gilt:\\ \\ \\ s\quad =\quad \sum _{ k\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \quad { f }_{ n } } \quad \rightarrow \quad \quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \sum _{ k\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ { f }_{ n } }  } =\quad \sum _{ k\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { f }_{ n } }  } \\$$

$$ \\ Das\quad bedeutet\quad für\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } :\\ \\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ -x } } \quad dx\quad =\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  }  } dx=\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ n }{ \left( -ln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  }  } dx\quad =\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n! } \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n }{ \left( -ln(x) \right)  }^{ n } }  } dx\\$$

$$\\ \overset { nach\quad \\ Aufg.\\ 2(a)\\ \longrightarrow  }{ = }$$

$$ \quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n! }  } \frac { n! }{ { \left( n\quad +\quad 1 \right)  }^{ n\quad +\quad 1 } } \quad =\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { \left( n\quad +\quad 1 \right)  }^{ n\quad +\quad 1 } }  } =\quad \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ n } }  } \\$$

$$ \\ Was\quad zu\quad zeigen\quad war.$$

Teil (c) ist unvollständig komme irgendwie nicht weiter  : ( die exponentialreihe soll auch hier benutzt werden als hinweis.

ich bekomme nur die umkehrung raus also die fläche ist die gleiche wie in x^-x was nicht sein kann nur weiß ich nicht was ich ändern muss

$$ Berechnen\quad Sie\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } \quad in\quad Form\quad einer\quad konvergenten\quad Reihe.\\ \\ \\ { x }^{ x }\quad =\quad { e }^{ xln(x) }\quad =\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } \quad und\quad wie\quad in\quad Aufg.\quad 2\quad (b)\quad folgt:\\ \\ sup\left\{ { \left\| { f }_{ n }(x) \right\|  }_{ \infty  }\quad ,\quad x\quad \in \quad ]0\quad ,\quad 1] \right\} \quad \le \quad \frac { { x }^{ n } }{ n! } \quad \\ \\ Und\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } \quad ist\quad eine\quad Majorante\quad für\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } .\quad Es\quad folgt\quad nach\quad \\ 2.6.8.\quad die\quad gleichmäßige\quad Konvergenz\quad von\quad \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  } .\\ \\ Darauf\quad folgt\quad die\quad Anwendbarkeit\quad von\quad 5.1.16\quad :\\ \\ [....]\\ \\\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( xln(x) \right)  }^{ n } }{ n! }  }  } dx\quad =\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ \frac { -{ x }^{ n }{ \left( ln(x) \right)  }^{ n } }{ -n! }  }  } dx\\ \\ =\sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ -\frac { 1 }{ n! } \frac { n! }{ { \left( n\quad +\quad 1 \right)  }^{ n\quad +\quad 1 } }  } \quad ??$$

Comments

habe den fehler endlich gefunden

$$ \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { (-1) }^{ n\quad -\quad 1 }{ \left( n\quad +\quad 1 \right)  }^{ n } }  } }  $$

musste mit (-1)ⁿ erweitern statt nur (-1)

Answer 1

Hi,
$$ \int_0^1 x^{-x} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ (-1)^k }{k!} \int_0^1 x^k \ln^k (x) \ dx $$ Das Integral kann mit partieller Integration iterativ gelöst werden. Mit \( u = \ln^k(x) \) und \( v' = x^k \) folgt
$$ \int_0^1 x^k \ln^k(x) \ dx = \ln^k(x) \ \frac{x^{k+1}}{k+1} \Bigg|_0^1 - \frac{k}{k+1} \ \int_0^1 \ x^{k} \ \ln^{k-1}(x) \ dx  $$
Der erste Summand geht gegen Null und das Integral auf der rechten Seite kann wieder mit partieller Integration gelöst werden. Damit ergibt sich
$$ \int_0^1 x^k \ln^k(x) \ dx = (-1)^k \frac{k!}{(k+1)^k} \int_0^1 x^k \ dx = (-1)^k \frac{k!}{(k+1)^{k+1}} $$
Das ergibt insgesamt  $$ \int_0^1 x^{-x} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ (-1)^k }{k!} (-1)^k \frac{k!}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k} $$

Comments

danke ! das wäre so zu lösen wenn nicht in (a) schon alles vorgegeben ist ? musste in (a) mit induktion bewiesen werden: für  f_n(x) = x^a (-ln(x))n soll gelten:  ₀ ∫¹  = f_n(x) dx = n! / (a+1)ⁿ⁺¹

---

Was musst denn zeigen. Ich komme mit Deiner Fragestellung nicht klar. \( \int_0^1 x^x \ dx \) geht mit der gleichen Argumentation.

---

 die ganze aufgabe: ich habe bei (b) das integral aus (a) verwendet (habe die stelle in meinem ersten text über dem "=" markiert

---

Hi,

$$ \int_0^1 x^{x} \ dx = \sum_{k=0}^\infty \frac{ 1 }{ k! } \int_0^1 x^k \ \ln^k(x) \ dx  $$

Da $$ \int_0^1 x^k \ \ln^k(x) \ dx = (-1)^k \frac{k!}{(k+1)^{k+1}}  $$ gilt, folgt

$$ \int_0^1 x^{x} \ dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{1}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{k=1}^\infty  \frac{(-1)^{k-1}}{k^k}  $$