Die Eigenwerte von P sind 1 und 0

Question

Liebe Mathelounge gemeinde ich soll für meineLineare Algebra 2 Übung folgendes zeigen:

a und c habe ich verstanden aber wie kann ich bei b zeigen das die Eigenwerte 0 und 1 sein. Ichhabe versucht den Ausdruck P- xI soweit zu vereinfachen dass ich eine recht einfache Darstellung habe,von der an schnell die Determinante bilden kann jedoch ist mir dies nicht gelungen

Kann mir bitte jemand helfen ich bin ein bisschen ratlos

Answer 1

sei v ein Eigenvektor zu P mit Eigenwert p.

Dann folgt aus P^2=P

P^2 v = Pv

p^2v=pv

p^2=p

p^2-p=0

p(p-1)=0

Also p=0, p=1