an : Anteil der Kunden, die nach n Käufen Sorte A kaufen
bn : Anteil der Kunden, die nach n Käufen Sorte B kaufen
cn : Anteil der Kunden, die nach n Käufen Sorte C kaufen
Damit ist
an+1 = 0,4an + 0,3bn + 0,5cn.
Die 0,5 kommt daher, dass die Hälfte von C zu A wechselt.
Die 0,3 kommt daher, dass 30% von B zu A wechseln.
Die 0,4 kommt daher, dass 60% von A zu B wechseln und die verbleibenden 40% bei A bleiben.
Auf ähnliche Weise kannst du Gleichungen für bn+1 und cn+1 aufstellen.
Es ist a0 = 10/45, b0 = 15/45 und c0 = 20/45. Damit und mit obigen Formeln kann das kurzfristige Verhalten untersucht werden.
Der Term 0,4an + 0,3bn + 0,5cn sieht aus wie das Skalarprodukt \(\begin{pmatrix}0,4\\0,3\\0,5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}\). Auf gleiche Weise können bn+1 und cn+1 als Skalarprodukt geschrieben werden. Man kann die Koeffizienten in ein rechtecckiges Zahlenschema eintragen: \(M = \begin{pmatrix}0,4& 0,3 &0,5\\\dots&\dots&\dots\\\dots&\dots&\dots\end{pmatrix}\). Ein solches Zahlenschema wird Matrix genannt. Die Matrix kann man dann mit dem Vektor \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix}\) "multiplizieren" um den Ergebnisvektor \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{pmatrix}\) zu berechnen, indem man
- das Skalarprodukt aus erster Zeile von M und Vektor berechnet,
- das Skalarprodukt aus zweiter Zeile von M und Vektor verechnet,
- das Skalarprodukt aus dritter Zeile von M und Vektor verechnet
und die Ergebnisse untereinanderschreibt.
Es ist also \(\vec{v}_1 = M\cdot\vec{v}_0\). Es ist ebenso \(\vec{v}_2 = M\cdot\vec{v}_1 = M\cdot (M\cdot\vec{v}_0)\)
Weil die Multiplikation von Matrizen dem Assoziativgesetz gehorcht, gilt dann auch \(\vec{v}_2 = M\cdot (M\cdot\vec{v}_0) = (M\cdot M) \cdot\vec{v}_0 = M^2\cdot\vec{v}_0 \). Allgemein ist also
$$\vec{v}_n = M^n\cdot\vec{v}_0$$
Mn berechnest du für große n am besten mit dem Taschenrechner. Damit kannst du dann zum Beispiel berechnen, wie die Verteilung nach 100 Einkufen aussieht.
Unter bestimmten Voraussetzungen (die auf den Schulen in NRW immer erfüllt sind) gilt noch folgende Aussage: Unabhängig davon, was die Kunden am Anfang gekauft haben strebt die Verteilung auf eine Verteilung zu, die sich nicht mehr ändert.
Die Verteilung, auf die zugestrebt wird, heißt Grenzverteilung. Die Verteilung, die sich nicht mehr ändert, heißt stabile Verteilung. Die Aussage kann also so formuliert werden: Die Grenzverteilung ist eine stabile Verteilung. Eine stabile Verteilung kannst du berechnen indem du das Gleichungssystem \(M·\vec{x}=\vec{x}\) löst.
Die Voraussetzungen, die ich oben erwähnt habe sind:
- Es darf schlechte Kaffesorten geben, also Kaffesorten, die alle Kunden verlieren.
- Kauft man eine Kaffesorte X, dann muss es zu fast jedem Zeitpunkt möglich sein, auch mal die Kaffesorte Y zu kaufen. Das muss für alle Paare (X,Y) aus nicht-schlechten Kaffesorten gelten.
