Flächeninhalt berechnen in R²

Question

Folgende Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt λ₂ (S_{a , r})

mit S_{a , r}  := { (x,y) ∈R² | max { 0 , a - √(r²-x²) } ≤ y ≤ a + √(r²-x²) , -r ≤ x ≤ r

mit a ≥ 0 und r > 0

Ich habe es gezeichnet hoffe es ist richtig. Meine Frage ist Muss man die beiden Seitenteile , also zB das rechte Seitenteil mit

$$ \int_{\sqrt { r² - a² }}^{r} a - \sqrt { r² - x² } dx $$ (wegen Symmetrie das doppelte davon)

von

$$\int_{-r}^{r} a + \sqrt { r² - x² } dx$$ abziehen?

Oder wäre es möglich es gleich voneinander abzuziehen , also f(x) - g(x) :

$$\int_{-r}^{r} (f(x) - g(x)) dx =\int_{-r}^{r} (a + \sqrt { r² - x² } - (a - \sqrt { r² - x² }))dx= 2 \int_{-r}^{r} \sqrt { r² - x² } dx$$

Comments

auf dem bild soll das eigentlich ein kreis sein und es keine richtigen schnittpunkte gibt von f(x) = a + √(r² - x²) und g(x) = a - √(r² - x²)

Answer 1

Hallo Gollumgirl,

für a < r  (sonst hast du einfach eine Kreisfläche) gilt:

Addiere im ersten Quadranten den Flächeninhalt des Viertelkreises  oberhalb von y=a  (gelb)  und die Fläche des Rechtecks mit dem rechten oberen Eckpunkt P(r|a) (grün|rot)  und subtrahiere das Integral  _{√(r^2-a^2)∫}^r (a - √( r² - x² )  dx  (rot).  Verdoppele wegen der Symmetrie das Ergebnis:

A = 2 * [ 1/4 * π * r² + r * a  -  _{√(r^2-a^2) ∫} ^r (a - √( r² - x² )  dx  ] 

Mein Rechner gibt folgendes Ergebnis an:

A =

 2· [ 1/4·π·r² + a·r - ((r²·ATAN(√(r² - a²)/a)/2 + a·√(r² - a²)/2) - π·r²/4 - a·√(r² - a²) + a·r) ]

           =  2 · [ (a·√(r² - a²) + π·r²) / 2 - r²·arctan(√(r² - a²) / a) / 2 ]

Kontrollergebnis für r=3 und a=2:   ≈  25,177

Gruß Wolfgang