Was ist eine einfache, doppelte oder dreifache Nullstelle?

Question

Es ist nicht sehr gut gelungen aber, die einfache nullstelle geht nur durch die x-Achse (schneidet sie) , die doppelte Nullstelle ist eine Parabel die die achse berührt und die dreifache nullstelle ist der sattelpunkt durch die achse

Answer 1

Eine einfache Nullstelle schneidet die x-Achse; wenn Du zum Beispiel die lineare Funktion f(x) = x + 4 = x¹ + 4 hast, dann schneidet ihr Graph die x-Achse an der Stelle x = -4.

Eine doppelte Nullstelle schneidet die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur. Ein Beispiel dafür:

f(x) = x²; setzt man diese Funktion = 0, so erhält man x² = 0 und dann x₁ = -√0 und x₂ = +√0

Und eine dreifache Nullstelle hat z.B. die Funktion f(x) = -0,2 * x³ an der Stelle x = 0.

Comments

"Und eine dreifache Nullstelle hat z.B. die Funktion f(x) = -0,2 * x³ an der Stelle x = 0. Auch hier wird die x-Achse nicht geschnitten, sondern nur berührt."

Aber dennoch liegt in dreifachen Nullstellen ein Vorzeichenwechsel vor. Die 'Tangente' an die Kurve verläuft in einer dreifachen Nullstelle horizontal und liegt nicht nur auf einer Seite der Kurve.

Answer 2

allgemein kann man sagen, eine k-fache Nullstelle x_0 kommt in der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms k-mal als entsprechender Linearfaktor vor:

f(x) = ... * (x - x_0)^k.

Das heißt eine zweifache Nullstelle, hat den Linearfaktor (x - x_0)^2 etc.....

Eine mehrfache, also nicht einfache, Nullstelle kommt mit f auch in dessen Ableitung f' mit um eins verminderter Vielfachheit vor. Das heißt, bei einer zweifachen Nullstelle verschwindet sowohl f als auch f' und ein Extremum ist gegeben (dieses berührt die x-Achse). Bei einer dreifachen Nullstelle verschwindet f, f' sowie f'', das heißt die Bedingungen für einen vorliegenden Sattelpunkt sind gegeben (dieser berührt die x-Achse).

MfG

Mister

Comments

tut mir leid ich habe immer noch nicht verstanden wieso eine zum Beispiel doppelte nullstelle so heißt, da es im enddefekt nur eine nullstelle vorliegt.

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Ja, die doppelte Nullstelle liegt natürlich nur als eine Nullstelle vor, sie hat aber die Vielfachheit 2 und heißt deswegen doppelte Nullstelle.

Ein Polynom lässt sich als Produkt über seine Nullstellen darstellen:

f(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * ... * (x - a_n) * const..

n ist der Grad des Polynoms. Gilt nun für i und j mit i ungleich j, dass a_i = a_j ist, so ist a_i eine doppelte Nullstelle.

Was man sich klar machen muss, ist der Fakt, dass jedes Polynom eine solche obige Darstellung besitzt, wenn nicht in ℝ (das sind die reellen Zahlen), dann in ℂ (das sind die komplexen Zahlen).