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Meine folgende Frage lautet:
Ich will die Injektivität von (x-2)(x+3) nachweisen, oder halt die Nicht-Injektivität. Mein Problem bei der gesamten Injektivität: Wenn wir keinen Wertebereich haben, wissen wir bei der Funktion nicht ob sie Injektiv ist. Noch besser formuliert. Eine andere Frage von mir:
Wir haben den Wertebereich: [-0,5, ∞) -> [-6,25, ∞) : f(x)= (x-2)(x+3) will nun zeigen das sie in dem Bereich injektiv ist.

(x1-2)(x1+3)=(x2-2)(x3+3)
x12+x1-6=x22+x2-6
x12+x1=x22+x2
x12+x1+(1/2)2-(1/2)2=x22+x2
(
x1+1/2)2=(x2+1/2)2
x1=x2

Aber das könnte ich auch für einen beliebigen Werte/Definitionsbereich umstellen und würde jedesmal herausbekommen, dass die Funktion Injektiv ist. Aber sie ist ja nur in einem bestimmten Bereich Injektiv. Ich verstehe nicht, was mir das bringt. Ich kann ja jede Funktion umstellen, damit x1=x2 steht und wenn ich weiß, dass es nicht Injektiv ist mache ich ein Gegenbeispiel (Indirekten Beweis) Aber ich sehe den Sinn noch nicht darin. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.


Liebe Grüße:

Joost

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Antwort gelöscht, Lesefehler.  (Hatte (x-1)/(x+3) wahrgenommen.)

Nachtrag:

Dein Fehler liegt in der Umformung.

(x1+1/2)2=(x2+1/2)
x1=x2 

Es muss lauten:

(x1+1/2)2=(x2+1/2)2  

x1+1/2 | = | x2+1/2| 

Hier folgt nur dann x1 = x2 ,  wenn  x1 und x2 entweder beide ≥ - 1/2  oder beide ≤ - 1/2  sind.

2 Antworten

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Die quadratische Funktion f(x)=x2 ist nicht injektiv auf ℝ, denn jedem x wird der gleiche Funktionswert wie −x zugeordnet. Schränkt man den Definitionsbereich von f auf das Intervall [0,∞[ ein, so ist die Funktion auf diesem Intervall injektiv. 

Die Injektivität hängt also vom Definitionsbereich der Funktion ab.

Eine Funktion ist injektiv genau dann, wenn $$\forall x_1, x_2 \ : \ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$$ Eine äquivalente Formulierung ist $$x_1\neq x_2  \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$ 

Wir haben folgendes: $$2\neq -3 \Rightarrow f(2)=0=f(-3)$$ Daher ist die Funktion f(x)= (x-2)(x+3) nicht injektiv auf ℝ. Schränkt man den Definitionsbereich von f auf das Intervall [-0,5, ∞) dann haben wir folgendes: 

Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. 

Wir brauchen also die erste Ableitung der Funktion f(x): $$f'(x)=\left(x^2+x-6\right)'=2x+1$$ 

Die Nullstelle der erste Ableitung ist x=-0,5. Im Intervall [-0.5, ∞) ist die erste Ableitung größer oder gleich Null, die Funktion f(x) ist in diesem Intervall also monoton steigend und im Intervall (-0.5, ∞) streng monoton steigend. 

Streng monoton steigeng bedeutet dass wenn x<y dann f(x)<f(y). 

Wir wollen prüfen ob die Funktion auch im Intervall [-0.5, ∞) streng monoton steigend ist. 

Sei y=-0,5+h, mit h>0. Wir haben folgendes: $$f(-0,5+h)=(-0,5+h)^2+(-0,5+h)-6 \\ =(-0,5)^2+2(-0,5)h+h^2+(-0,5)+h-6 \\ =((-0,5)^2+(-0,5)-6)+2(-0,5)h+h^2+h \\ =f(-0,5)+2(-0,5)h+h^2+h \\ =f(-0,5)-h+h^2+h \\ =f(-0,5)+h^2 \\ >f(-0,5)$$ 

Die Funktion f(x) ist also Intervall [-0.5, ∞) streng monoton steigend. Davon folgt es dass die Funktion in diesem Intervall injektiv ist. 

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Zumindest dein Schritt: 

(x1+1/2)2=(x2+1/2)

x1=x2 

ist nicht richtig.

(x1+1/2)2=(x2+1/2) |  Wurzel 
x1+1/2= ± (x2+1/2) 



Nun hast du 2 Fälle ausser bei x_(1) = -1/2  
Nämlich: 
x1=x2 
oder: 


x1+1/2= - x2 -1/2  

x1 + x2 = - 1  

Somit kannst du dich auf die Suche nach einem Gegenbeispiel begeben. 
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