aufgabe zu komplexen zahlen

Question

folgendes Problem:

gegeben ist das Polynom:

P(z)=z^5+2z^4+5z^3+8z^2+16z+40

bekannt ist die Nullstelle z=a+b*j

Um die restlichen Nullstellen zu lösen, verwendet man ja das Hornerschema (oder Polynomdivision)

Nur blicke ich hier nicht so wirklich durch wie ich hier das Hornerschema berechnen soll.

Soll ich mit z erst rechnen oder alle z in a+bj umwandeln oder wie geht man vor

Danke für die Hilfe

Comments

Tipp: Falls b ≠ 0 ist a - b*j eine weitere Nullstelle, d.h P ist durch x² - 2ax + a² + b² teilbar.

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Tipp:

eine Nullstelle ist z=-2

Answer 1

Du kannst 'ganz normal' mit den komplexen Zahlen rechnen. Wenn eine komplexe Nullstelle bekannt ist, kannst Du weiter davon ausgehen, dass die konjugiert komplexe ebenfalls eine Lösung ist. Also kanst Du das Horner Schema gleich zweimal anwenden. In diesem Fall ist es so, dass man durch Probieren die reelle Lösung \(P(-2)=0\) findet. Wenn man damit anfängt, muss man nachher nicht so viel rechnen - man erhält:

	1	2	5	8	16	40
-2	0	-2	0	-10	4	-40
	1	0	5	-2	20	0
-1+2i	0	-1+2i	-3-4i	6+8i	-20
	1	-1+2i	2-4i	4+8i	0
-1-2i	0	-1-2i	2+4i	-4-8i
	1	-2	4	0

Zwei weitere Lösungen sind \(x_{2,3}=-1\pm2i\) (s.o.). Mit Hilfe des Horner Shemas kann man die Polynomdivision durchführen und es verbleibt:

$$x^2-2x+4$$