Komplexe Zahlen. Allgemeines. Bsp. 2) z^3=z~^2 (als Tipp wurde angegeben: Exponentialform)

Question

Ich habe mich gerade an komplexe Zahlen versucht, hab jedoch bei folgenden 3 Aufgaben probleme bzw. verstehe nicht ganz wie ich da vorgehen soll.

1) z^2=jz~

2) z^3=z~^2 (als Tipp wurde angegeben: Exponentialform)

3) z^3+z*z~=2+3j

die z~ sollen die konjugiert komplexen von z sein!

Habe probleme mit den konjugiert komplexen zu rechnen. Wäre dankbar über hilfe

mfg

Answer 1

Ich vermute mal, j soll die imaginäre Einheit sein.

Es sei z = z_r + jz_i mit reellen z_r und z_i.

Dann ist z~ = z_r - jz_i

1) lässt sich damit formulieren als

        (z_r + jz_i)² = j·(z_r - jz_i)

Jetzt kannst du weitestgehend mit reellen Zahlen rechnen; unter der Beachtung von j² = -1.

Wegen binomischer Formel ist

        (z_r + jz_i)² = z_r² + 2z_rz_ij + (jz_i)² = z_r²-z_i² + 2z_rz_ij.

Realteil von (z_r + jz_i)² ist also z_r²-z_i², Imaginärteil ist 2z_rz_i.

Außerdem ist wegen Distributivgesetz

        j·(z_r - jz_i)= jz_r - j²z_i = z_i +jz_r.

Realteil von j·(z_r - jz_i) ist also z_i, Imaginärteil ist z_r.

Vergleicht man die Realteile, dann kommt man zu

(1)        z_r²-z_i² = z_i.

Vergleicht man die Imaginärteile, dann kommt man zu 

(2)        2z_rz_i = z_r.

Löse das Gleichungssystem aus (1) und (2) in en reellen Zahlen.

Comments

.. bleibt noch zu erwähnen, dass man beim Lösen stets bedenken muss, dass \(z_r\) bzw. \(z_i\) auch =0 sein können. Das führt dann dazu, dass in diesem Fall vier unterschiedliche Lösungen existieren.