Newton Iterationsverfahren

Question

Ermitteln sie den Schnittpunkt der Funktion f(x) = 3x - 1   und   g(x)  = Wurzel von x  +  0,5

mit dem Newton Iterationsverfahren.

Als Startwert soll x0 = 1 gewählt werden.

Stellen sie den Iterationsfehler in Abhängigkeit der Iterationsschritte dar.

Wie viele Iterationsschritte werden benötigt, damit das Genauigkeitskriterium Epsilon = 0,001 unterschritten wird?

Comments

Die 0,5 stehen glaube nicht mit unter der Wurzel, dann sollte sich vermutlich auch eine Veränderung ergeben

Answer 1

Also Nullstelle von n(x) = -1 + 3x - √(x+0,5)  gesucht.

n' (x) =  3  - 1 / ( 2* √(x+0,5) )   Startwert x=1 gibt

x₀=1

x₁=  1   -  ( -1 + 3*1 - √(1,,5)         )   /   (3 - 1 / ( 2*√1,5) ) = 0,70

x₂=  0,70 -  n(0,7) / n ' (0,7)  = 0,698


x₃=  0,698 -  n(0,698) / n ' (0,698)  = 0,698 Bei dieser Genauigkeit also keine

Änderung zu erkennen.

Abschätzung des Fehlers geht wohl über Taylorentwicklung von n(x).

siehe etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren#Lokale_quadratische_Konvergenz

Answer 2

Schnittpunkte sind Nullstellen der Differenzfunktion d(x)=3x - 1 - √(x+0,5). Startwert ist 1. Formel x_n+1=x_n-d(x_n)/d '(x_n).

d'(x)= 3-√2/(2√(2x+1)).Dann lautet die Näherungsformel x_n+1=x_n-(3x - 1 - √(x+0,5))/(3-√2/(2√(2x+1))). Startwert x0=1. und dann

 0.7008760037, 0.6982093971, 0.6982091312, 0.6982091312, 0.6982091312, 0.6982091312, 0.6982091312, 0.6982091312, 0.6982091312, 0.6982091312.