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Die rechtwinklige Ecke einer Stra├če soll durch einen Bogen ersetzt werden, um Unfallgefahren zu vermindern. F├╝r die neue Stra├čenf├╝hrung soll der Bogen ansetzen an die Stra├čen, die in einem lokalen Koordinatensystem in der Einheit km beschrieben werden durch f(x) = x f├╝r x Ôëą 1 und g(x) = -x f├╝r x ÔëĄ -1. Bestimmen Sie eine geeignete Funktion.

Aufgabe

Ich verstehe die Aufgabe einfach nicht, schon allein die Aufgabestellung :(

von

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Das geh├Ârt zu den Trassierungsaufgaben

Gesucht ist z.B. eine ganzrationale Funktion die die beiden Stra├čenteile, knickfrei und kr├╝mmungsfrei verbindet.

 

Die Bedingungen daf├╝r sind:

Achsensymetrisch
f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(1) = 1
f'(1) = 1
f''(1) = 0

Daraus resultieren die Gleichungen

a + b + c = 1
4┬Ěa + 2┬Ěb = 1
12┬Ěa + 2┬Ěb = 0

Die L├Âsung des LGS ist a = - 1/8 Ôłž b = 3/4 Ôłž c = 3/8

Die Funktion lautet daher

f(x) = - 1/8┬Ěx^4 + 3/4┬Ěx^2 + 3/8

Damit sieht das ganze dann so aus:


 

von 286 k
Manche Lehrer fordern nur das die Stra├če knickfrei verl├Ąuft. Dann k├Ânnte man das mit einer Funktion 2. Grades machen. Besser ist allerdings die Methode, das die Stra├če auch kr├╝mmungsfrei verl├Ąuft.

Kr├╝mmungsfrei soll bedeuten das es keine Kr├╝mmungsspr├╝nge gibt.
So k├Ânnte man rein Theoretisch die Kurve auch durch einen Kreisbogen modellieren. Allerdings w├Ąre das dann nicht Kr├╝mmungsfrei.

@ Mathecoach:
Was spricht gegen eine Funktion 2. Grades (s.u.)?

Du hast schon von einem "Kr├╝mmungssprung" gesprochen, aber wenn man h(x) = 0,5x2 + 0,5 von einem Plotter zeichnen l├Ąsst, sieht das ganz "smooth" aus :-)

Das die ├ťberg├Ąnge einen Sprung im Kr├╝mmungsverhalten haben. Das hei├čt die Modellierte Funktion hat im ├ťbergangspunkt eine andere Kr├╝mmung als die anschlie├čende Stra├če.

Stell dir vor du bist f├╝r einen Fahradparkour auf dem Schulhof verantwortlich und entwirfst eine 8 aus zwei Kreisen.

F├Ąhrst du in dem einen Kreis hast du meinetwegen den Lenker immer links eingeschlagen. Willst du dann in den anderen Kreis fahren hast du ein Problem denn du m├╝sstest das Lenkrad in der ├ťbergrangsstelle herumrei├čen weil du im anderen Kreis immer einen Lenkereinschlag nach rechts hast. Man braucht also quasi hier auch einen Wendepunkt wo die Kr├╝mmung sich langsam ├Ąndert und nicht sprunghaft.

Schau dir eventuell mal den direkten Vergleich an:

Der gr├╝ne Graph gibt den etwas smootheren ├ťbergang :) Man hat dort langsam Zeit in die Kurve hineinzulenken und langsam herauszulenken.

Danke, das verstehe ich. 

Aber würdest Du das hier eine sprunghafte Änderung der Krümmung bezeichnen?

O.k., dann hat sich mein letzter Kommentar er├╝brigt :-)

P.S. W├Ąre es dann nicht noch "smoother", wenn man mit einem symmetrischen Polynom 8. Grades arbeiten w├╝rde? Wo sind da die Grenzen? Oder fehlen dann ganz einfach Daten, um die Funktionsgleichung zu erstellen?
Ja. Denn die Parabel ist in jedem Punkt linksgekr├╝mmt. Die geraden Stra├čen haben allerdings keine Kr├╝mmung. Daher w├Ąre hier der ├ťbergangspunkt nicht Kr├╝mmungsfrei bzw. h├Ątte einen Kr├╝mmungssprung.
Aber auch bei Deiner L├Âsung, die zugegebenerma├čen "weicher" ist, hast Du eine Linkskr├╝mmung, nur halt nicht so stark :-)
Man geht in der Schulmathematik davon aus das es erstmal langt wenn sich die Kr├╝mmung allm├Ąhlich ├Ąndert. Daher sind ├ťberg├Ąnge knickfrei und kr├╝mmungssprungfrei zu entwerfen.
In wie weit da in der Praxis auch mit gerechnet wird wei├č ich nicht. Da spielen vermutlich andere Dinge noch eine wichtigere Rolle.
Gut, beenden wir das hier.
Wenn man im M├╝nsterland lebt wie ich, glaubt man ohnehin nicht, dass bei der Planung von Stra├čen irgendwelche mathematischen Methoden angewendet werden :-D
Also meine Funktion ist an den ├ťbergabepunkten kr├╝mmungsfrei. Meine Funktion hat dort ja Wendepunkte.
Man lenkt also sanft in die Kurve hinein und wieder heraus. Man braucht keine hektischen Lenkerbewegungen um dem exakten Stra├čenverlauf zu folgen.
Bei Deinem direkten Vergleich oben w├╝rde ich pers├Ânlich aber lieber die rote Strecke als die gr├╝ne fahren; man tendiert doch - sofern es der Verkehr zul├Ąsst - auch eher dazu, eine Kurve zu schneiden als sie ganz weit auszufahren; Stichwort "Ideallinie".
Ja. Das macht man im allgemeinen damit man keine zu gro├če Kr├╝mmung hat und dadurch schneller fahren kann.
Die Ideallinien haben daher immer eine m├Âglichst kleine Kr├╝mmung verlaufen selber aber auch ohne Kr├╝mmungsspr├╝nge.

Angeblich soll man solche Kr├╝mmungsspr├╝nge bei Eisenbahntrassen sp├╝ren.
Wahrscheinlich hat jede L├Âsung ihre Vor- und Nachteile:
Mit Deiner Funktion geht man sanfter in die Kurve, bei meiner Funktion ist der ├ťbergang von f(0,25) auf f(-0,25) weicher ...

Auf jeden Fall war es eine sehr interessante Diskussion.

Jetzt ist aber eine Bettlagerung angesagt: Gekr├╝mmt oder nicht gekr├╝mmt, das ist hierbei nicht die Frage :-D
Nur falls es dich interessiert. Bei der anderen Trassierungsaufgabe:

https://www.mathelounge.de/45946

Ist der einfache Ansatz auch einer der keine Kr├╝mmungsfreiheit an den ├ťbergangspunkten voraussetzt.

Ich glaube die Aufgabe war mal Teil einer Hamburger Abiturpr├╝fung. Sie kommt mir auf jedenfall sehr bekannt vor. Aber es werden ja auch immer Aufgaben auch von anderen abgewandelt.
+1 Punkt

Hi, 

was wir haben, sieht in etwa so aus: 

Jetzt sollen also die Punkte (-1|1) und (1|1) durch einen Bogen miteinander verbunden werden, damit die Verl├Ąnderungen von f(x) und g(x) nicht im Ursprung rechtwinklig aufeinandersto├čen. 

Idee: 

Ich w├╝rde ausgehen von einer Funktion 2. Grades

h(x) = ax2 + bx + c

h'(x) = 2ax + b

mit 

h(1) = 1

h(-1) = 1

h'(1) = 1

 

Es ergeben sich die folgenden Gleichungen: 

a + b + c = 1

a - b + c = 1

2a +b     = 1

a = 0,5

b = 0

c = 0,5

 

Und damit die Funktionsgleichung: 

g(x) = 0,5 * x2 + 0,5

     

Besten Gru├č

von 32 k
Nur noch einmal um die oben genannte Diskussion abzuschlie├čen.
Beim Stra├čenbau ist auch die zweite Ableitung der Funktion wichtig. Diese gibt "quasi" an, wie das Lenkrad bewegt wird. D.h. ist ein Sprung in der zweiten Ableitung, m├╝sste man um die Ideallinie zu fahren, das Lenkrad von der Mittelstellung zur Seite instantan "springen" lassen.

Ist die zweite Ableitung jedoch stetig, kann das Lenkrad eingedreht werden.

Deshalb ist die erste L├Âsung f├╝r den Strassenbau korrekt.
Muss aber ein 13 Kl├Ąssler erstmal drauf kommen.

Beste Gr├╝├če

Konrad

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