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Habt ihr auch schon mal vor dem Problem gestanden, dass ihr ein Gleichungssystem hattet. Also ein Problem, welches aus zwei Gleichungen und zwei Variablen besteht und das ihr zu lösen hattet?

Dann stelle ich euch heute das Gleichsetzungsverfahren vor, mit dem ihr so einem Gleichungssystem zu Leibe rücken könnt :).


Gleichsetzungsverfahren:

Problemstellung:

9x+3y = 6   (I)

2y = 6x- 8   (II)


Wir haben also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte x und y. Wir sind nun daran interessiert, für welches x und welches y beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind!

Um nun das Gleichsetzungsverfahren wählen zu können, müssen beide Gleichungen so umgeformt werden, dass sie auf einer Seite die gleiche Variable stehen haben. Denn dann ist klar: Man kann die Variable durch einen anderen Ausdruck ausdrücken. Da das auf zweierlei Weise möglich ist, muss man sicher gehen, für welche Werte von x und y die Ausdrücke auch wirklich gleich sind!

Sorgen wir dafür, dass wir auf einer Seite ein x vorfinden. D.h. es ist hier auch sinnvoll nach 3x aufzulösen. Schaut zu!

9x+3y = 6   (I)     |:3

2y = 6x-8   (II)    |:2

-----

3x+y = 2    (III)  ->  3x = 2-y

y = 3x-4     (IV) ->   3x = y+4


Wir sehen nun, dass wir die Möglichkeit haben 3x auch anders auszudrücken. Nämlich also 2-y. Aber 3x ist auch durch y+4 auszudrücken! Die beiden Ausdrücke 2-y und y+4 sind also offensichtlich gleich. Für welches y das wirklich so ist, finden wir heraus, wenn wir sie gleichsetzen.

2-y = y+4 |+y-4

2y = -2     |:2

y=-1


Damit haben wir den ersten Teil der Lösung gefunden. Nur für y=-1 ist die Bedingung erfüllt, dass beide die gleiche Aussage bezüglich 3x treffen. Das zugehörige x ist nun noch auszurechnen, indem y=-1 in eine der Gleichungen eingesetzt wird.

In (IV):

3x = -1+4 = 3  |:3

x = 1


-> Lösung ist x=1 und y=-1

Und damit haben wir unser Gleichungssystem gelöst. Wir wissen nun dank dem Gleichsetzungsverfahren für welches x und welches y das Gleichungssystem erfüllt ist. Du glaubst es nicht? Mache die Probe, in dem Du die Lösung für x und y in Gleichung (I) und (II) einsetzt!

Mit diesem kleinen Einblick in das Lösungsverfahren eines Gleichungssystem, hoffe ich euch ein Stück weiter in die Materie gebracht zu haben. Ich wünsche viel Spaß beim Üben und weiterstöbern :).

Grüße
Unknown


PS: Für Kommentare und Verbesserungsvorschläge (und Fehlermeldungen, gerne auch Rechtschreibfehler *hust*) immer gerne offen.


PPS: Neben dem Gleichsetzungsverfahren gibt es auch das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Du bist interessiert wie man mit diesen umgeht? Dann schaue hier rein:

Einsetzungsverfahren: https://www.mathelounge.de/45968/lineares-gleichungssystem-einsetzungsverfahren-erklart

Additionsverfahren: https://www.mathelounge.de/46100/artikel-lineares-gleichungssystem-additionsverfahren-erklart

Damit klar wird, dass man mit allen Verfahren arbeiten kann, wurde mit dem jeweils gleichen Beispiel gerechnet :).

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PS: Video zum Thema Lineare Gleichungssysteme

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