LinA Vektorraum, lineare Abbildung, Bilder

Question

Kann mir jemand hierbei behilflich sein? Ich komme gar nicht klar.

Answer 1

L(x²+2) = 2x²+4 = 2* (x²+2), also ist x²+2 ein Eigenvektor zum EW 2

und alle k*(x²+2) mit k∈ℝ bilden den zugehörigen Eigenraum.

L(x-2) = -x +2 = -1 * ( x-2) , also ist x-2 ein Eigenvektor zum EW -1

und alle ...............

Wenn b1 , b2, b3 die in b) gegebenen Basisvektoren sind, sieht man

L(b1)+L(b3) = L(b2)

==>  L ( b1 -b2+b3) = 0 , also ist b1 -b2+b3 ein Eigenvektor

zum EW 0, und seine Vielfachen bilden den zugehörigen

Eigenraum, gerne auch "der Kern von L" genannt.

a) zeigt  ja:

L(b1)=2*b1 , also ist die erste Spalte der Matrix

2
0
0

Man sieht auch ( s.o.)  L(b2)  = L(b1) + L(b3)

                                               =2b1 + (-1)*b3

also ist die zweite Spalte der Matrix

2
0
-1

und entsprechend die dritte

0
0
-1

Also char Pol =

det (M-x*E) = -x *(x-2) *(x+1)