Was du von mir lernen musst. Das Arbeiten mit schäbigen Tricks. Was Internet und Lehrer nicht wissen / sagen.
Was sich auch nach meinen Beiträgen nicht rum spricht.
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Für dich habe ich gleich zwei Strategien auf Lager.
x ( max ) = 0 ; x ( min ) = 2 ( 1 )
Aber damit haben wir doch schon beide Wurzeln der ersten Ableitung beisammen.
f ' ( x ) = k x ( x -2 ) = k ( x ² - 2 x ) ( 2 )
Alles was jetzt noch zu tun bleibt, ist, was die Kollegen von " Lycos " als " Aufleiten " bezeichnen ===> Stammfunktion ===> Integral
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - x ² ) + C ( 3 )
Die ===> Integrationskonstante C verschwindet sogar ( warum? )
jetzt noch die Bedimngung einsetzen für x = 2
k ( 8/3 - 4 ) = 4 | : 4 ( 4a )
Kürzen nicht vergessen
k ( 2/3 - 1 ) = 1 ===> k = ( - 3 ) ( 4b )
f ( x ) = 3 x ² - x ³ ( 4c )
Und jetzt die Alternative. Das Extremum im Ursprung ist immer eine Nullstelle von gerader Ordnung - hier offensichtlich doppelte
( Schließlich kann ein Polynom 3. Grades keine 4 Wurzeln haben. ) Zunächst in Normalform hättest du also eine Unbekannte x3
f ( x ) = x ² ( x - x3 ) = ( 5a )
= x ³ - x ² x3 = ( 5b )
=: x ³ + a2 x ² ( 5c )
Damit lässt sich auch eine Menge anfangen. Man muss eben nur zwei Dinge wissen:
" Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "
Hätte dir das jemand so gesagt ( und bei Steckbriefaufgaben brauchst du es wie das täglich Brot ) würdest du sehen
x ( w ) = 1 ( 6a )
( Die Extrema fallen immer Spiegel symmetrisch zum WP. )
Davon hättest du aber noch nicht allzu viel, wenn ich dir nicht sage, dass du für den WP nämlich keiner 2. Ableitung bedarfst. Aus der Normalform ( 5c ) für Formelsammlung und Spickzettel
x ( w ) = - 1/3 a2 = 1 ===> a2 = ( - 3 ) ( 6b )
f ( x ) = k ( x ³ - 3 x ² ) ( 6c )
Halt stop; der ==> Leitkoeffizient k war ja noch offen. Berechne ihn und verglweiche die Lösung mit ( 4c )
