Gleichungssystem lösen, 3 Variablen

Question

Hallo liebe Freunde der Mathematik,

folgende Aufgabenstellung sei gegeben:

Mein Lösungsansatz nach Lagrange:

L(x,y,λ) = 4x²-3xy+λx²+λy²-λ

L'_x= 8x-3y+2λx = 0

L'_y= -3x+2λy = 0

L'λ= x²+y²-1 = 0

Wie löse ich diese GLS jetzt möglichst "schön"? Gibt es da ein "Schema F" was man gut abfahren kann?

Bzw. Muss ich für die Aufgabe überhaupt Lagrange nutzen?

LG

Answer 1

Lokale Extrempunkte

f(x, y) = 4·x^2 - 3·x·y

f'(x, y) = [8·x - 3·y, - 3·x] = [0, 0]

f''(x, y) = [8, -3; -3, 0] --> Sattelpunkt im Ursprung

Randextrema über Lagrange

L(x, y, k) = 4·x^2 - 3·x·y - k·(x^2 + y^2 - 1)

L'x(x, y, k) = 8·x - 3·y - 2·k·x = 0 --> k = 4 - 3·y/(2·x)

L'y(x, y, k) = -3·x - 2·k·y = 0 --> k = - 3·x/(2·y)

Die Werte für k gleichsetzen

4 - 3·y/(2·x) = - 3·x/(2·y)

8·x·y - 3·y^2 = - 3·x^2 --> y = -x/3 ∨ y = 3·x

Das in die Nebenbedingung einsetzen

x^2 + (-x/3)^2 = 1

x = -3·√10/10 --> y = -(-3·√10/10)/3 = √10/10 --> HP(-0.9487 | 0.3162 | 4.5)

x = 3·√10/10 --> y = -(3·√10/10)/3 = -√10/10 --> HP(0.9487 | -0.3162 | 4.5)

x^2 + (3·x)^2 = 1

x = -√10/10 --> y = 3·(-√10/10) = -3·√10/10 --> TP(-0.3162 | -0.9487 | -0.5)

x = √10/10 --> y = 3·(√10/10) = 3·√10/10 --> TP(0.3162 | 0.9487 | -0.5)

Answer 2

Ich würde die dritte Zeile nach y auflösen und sowohl in die zweite als auch in die erste Zeile einsetzen. Dann die zweite Zeile nach lambda auflösen und in die erste Zeile einsetzen; welche dann nur noch von x abhängt. 

Meine Lösung: x^2+(9/10x)-(3/10) und dann halt pq Formel