Mittelwert / Integral berechnen

Question

Die Aufgabenstellung lautet : Berechnen Sie den Mittelwert von f(x) = x*e^{-x^2} auf dem Integral von {-3,3}

Kann man diese Funktion mit der Formel der partiellen Integration aufleiten? Oder muss ich beide Teile einzeln aufleiten ?

Answer 1

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das Integral zwischen -3 und 3 ist null.
Der Mittelwert auch.

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Substitution
z = -x²
z ´= -2*x = dz / dx
dx = dz / (-2x)

Ersetzen
∫  x * e^-x2  dx
∫ x * e^z * dz / (-2x)

-1/2 * ∫ e^z dz
-1/2 * e^z

Dies ist die Stammfunktion
-1/2 * e^{-x^2}

Answer 2

das Integral kann man mit der Substitution -x²=z lösen:

$$\mu=\frac { 1 }{ 6 }\int_{-3}^{3}xe^{-x^2}dx\\-x^2=z\\\frac { dz }{ dx }=-2x\\dx=-\frac { dz }{ 2x }\\\mu=\frac { 1 }{ 6 }\int_{9}^{9}xe^{z}\frac { (-dz) }{ 2x }\\=-\frac { 1 }{ 12 }\int_{-9}^{9}e^{z}dz=0$$

Diese Rechnung kann man sich aber eigentlich sparen, denn die Ausgangsfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung weshalb das Integral =0 ist.

Comments

Vielen Dank schonmal für die Antwort, allerdings haben wir das mit der Substitution so noch nie gemacht. Was passiert denn im vorletzten zum letzten Schritt mit dem x ?

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Das x kürzt sich weg (steht einmal vorne im Zähler und einmal hinten in Nenner)

Answer 3

Substituiere z= -x²