Wie sehen die beiden Mengen anschaulich aus?

Question

Wie sehen folgende Mengen anschaulich aus?

Mir fällt es schwer das aus der Definition zu erkennen, und wie "liest" man diese? 

Answer 1

Hallo Haferflocke,

 ich schreibe  x = x₁  ,   y = x₂  und  z = x₃  und Vektoren in Zeilenschreibweise.

V)   

2·x + y - 4·z = 1    und    x + 5·z = 2

Es handelt sich um die Schnittmenge zweier nicht  paralleler Ebenen, weil die Normalenvektoren  [2, 1, -4]  und  [1, 0, 5]  nicht parallel sind.

Diese haben eine  Schnittgerade  g  mit

Richtungsvektor =  [2, 1, -4] ⨯ [1, 0, 5]  =  [5, -14, -1]   (Kreuzprodukt der Normalenvektoren) 

Einen Aufpunkt erhält man als beliebige Lösung des Gleichungssystems

  2·x + y - 4·z = 1    und    x + 5·z = 2

Bei zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten, kann man eine Unbekannte beliebig wählen:

Mit z = 0  erhält man x = 2  und dann  y = -3

g:   \(\vec{x}\)  =  [2, -3, 0]  +  r * [5, -14, -1] 

U)

2·x + y - 4·z = 0    und    x + 5·z = 0

Hier hast du für die Schnittgerade den gleichen Richtungsvektor und den gemeinsamen Punkt (0|0|0) der beiden Ebenen sieht man sofort:

g:   \(\vec{x}\)  =  [0, 0, 0]  +  r * [5, -14, -1]  =    r * [5, -14, -1]

Gruß Wolfgang

Answer 2

alles von der Form ax+by+cz=d , bei dem nicht alle abc 0 sind,

ist eine Ebenengleichung in R³ .

Das erste ist also der Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen, die beide den

Nullpunkt enthalten, also eine Gerade durch den 0-Punkt.

Answer 3

In der Klammer stehen zwei nicht parallele Ebenen. Damit ist die Schnittmenge eine Gerade im 3 dimensionalen Raum.

Du erhältst die Schnittgerade indem du das Gleichungssystem mit einem Freiheitsgrad löst.

2·x + y - 4·z = 0
x + 5z = 0

z = r
x + 5·r = 0 --> x = -5·r
2·(- 5·r) + y - 4·r = 0 --> y = 14·r

X = [0, 0, 0] + r·[-5, 14, 1]

Answer 4

Zu U) In der Mengenklammer stehen (durch ein Komma getrennt) die Gleichung einer Ebene durch den Punkt (0,0,0) und die Gleichung einer Geraden in der x₁x₃-Ebene, die ebenfalls durch (0,0,0) geht. Wenn das Komma zwischen den beiden Gleichungen für ∧ steht, besteht U nur aus (0,0,0).

Zu V) In der Mengenklammer stehen (durch ein Komma getrennt) die Gleichung einer Ebene mit den Achsenabschnitten x₁=1/2, x₂=1 und x₃=-1/4. Die Gerade liegt in der x₁x₃-Ebene und hat die Achsenabschnitte x₁=2 und x₃=2/5. Wenn das Komma zwischen den beiden Gleichungen für ∧ steht, muss man einzigen Punkt von V noch ausrechnen.

Comments

In den Mengenklammern stehen jeweils die Gleichungen zweier Koordinatengleichungen im R^3. Das sind immer Ebenen. Sind diese nicht parallel, so sind ihre Schnittmengen Geraden.