Definitionsmenge und Wertebereich. Definitionsbereich von √((3x+9)÷(8x+4))?

Question

hatte grade die Aufgabe den Definitionsbereich von √((3x+9)÷(8x+4))

also der Nenner darf nicht Null werden und der gesamte Bruch nicht kleiner als 0.

Wie kann man das berechnen?

Liebe Grüße

Matthias

Answer 1

Der Nenner darf nicht Null werden und der Radikand insgesamt muss größer oder gleich Null sein.

1) 8x+2 ungleich 0 --> x ungleich -1/2

2) Fallunterscheidung:

a) 3x+9 >=0 und 8x+4>0

x>=-3 und x>-1/2

x> -1/2

b)

x<=-3 und x<-1/2

x<=-3

L= ]-oo;-3] vereinigt mit ]-1/2; +oo[

Comments

Also diese Lösung habe ich auch.

Denn wenn x =-4 z.B. kann ich ja trotzdem die Wurzel berechnen.

Das stimmt also?

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Ja, -4 ist im Definitionsbereich. Der Radikand wird positiv, weil der Bruch insgesamt positiv ist: minus durch minus ergibt plus. :)

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EDIT: Das t am Ende tut weh. Habe es korrigiert. https://de.wiktionary.org/wiki/Radikand

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Hallo Lu,

dein Kommentar

D nach mir: -3 ≤ x < -1/2

erscheint hier leider nirgendwo mehr.

Nach meinen Berechnungen und meiner Skizze
ist das gerade der Bereich der nicht im
Def-Bereich liegt.

Die Antworten von Mathef und Roland
müßten auch falsch sein.

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Gast2016 hat das schon richtig und du im Kommentar auch.

 Ich hatte den Kommentar erst am falschen Ort gesetzt ;) 

Answer 2

√((3x+9)/(8x+4)). Für den Radikand muss gelten ((3x+9)/(8x+4)) ≥ 0. Das ist eine Bruchungleichung mit der Lösungsmenge {x | -3≤x≤-1/2}.

Answer 3

( 3x + 9 ) / ( 8x + 4 )

Nenner = 0 bei
8x + 4 = 0
x = - 1/2

Ausschließen
plus / minus

( 3x + 9 ) > 0
x > -3
( 8x + 4 ) < 0
x < -1/2

Zusammen
-3 < x < -1/2

Ausschließen
minus / plus

( 3x + 9 ) < 0
x < -3
( 8x + 4 ) > 0
x > -1/2

Keine Schnittmenge

Defbereich ℝ \  -3 < x < -1/2

Comments

Der Zähler darf auch  Null werden! :)

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Defbereich ℝ \  -3 < x < -1/2

heißt
] - ∞ .. -3 ] und  [ - 1/2 .. ∞ [

Damit ist der Zähler = 0 auch in meiner
Defmenge enthalten.

Allerdings ist bei mir ein Fehler enthalten
Es muß heißen

Defbereich ℝ \  ( -3 < x ≤ -1/2 )
oder in anderer Schreibweise
[ - ∞ .. -3 ] und  ] - 1/2 .. ∞ [

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Dein kleiner Fehler liegt hier: Es muss lauten:

( 3x + 9 ) ≥ 0

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Liegt er, meiner unmaßgeblichen Meinung nach,
gar nicht.

Du hast bei deiner Rechnung in den Def-Bereich eingeschlossen
3x + 9 ≥ 0  und  8x + 4 > 0
und
3x + 9 ≤ 0  und  8x + 4 < 0

Bei meiner Rechenweise habe ich
aus dem Def-Bereich ausgeschlossen
3x + 9 > 0  und  8x + 4 < 0
und
3x + 9 < 0  und  8x + 4 > 0

Der sich ergebende Def-Bereich ist
derselbe.

Answer 4

(3x+9)÷(8x+4) ≥ 0

<==>  ( 3x+9 ≥ 0 ∧ 8x+4 > 0 )  ∨  ( 3x+9 < 0 ∧ 8x+4 < 0 )
<==>  ( x ≥ -3 ∧   x > 1/-2 )  ∨   ( x < -3 ∧   x < -1/2 )

<==>  (   x > -1/2 )  ∨   ( x < -3 )

also  D =   ]-oo;-3] ∪ ]-1/2; +oo[