Lokale Extremstellen mehrdimensional. Gradienten null setzen. f(x,y):= (x3 - 3x)/(1+y2)

Question

ich verstehe diese Mitschrift nicht so ganz,

Man setzt ja die Ableitungen gleich null damit man die kritischen punkte heraus bekommt,

dies wurde auch gemacht, soweit so gut,

aber in der Ableitung fy(x,y) kommt man dann darauf dass entweder y=0 oder x³-3x=0 sein muss damit die Gleichung erfüllt ist.

Das wurde auch aufgeschrieben, aber man hat dann einfach y=0 genommen und die x³-3x=0 alternative ignoriert, die würde dann ja auch klappen wenn man für x= Wurzel 3 auswählt ??

Wieso wurde die alternative ignoriert ?

Comments

Du hast die Bedingung

3·(x² - 1)/(y² + 1) = 0

Das ist aber sicher nicht erfüllt wenn x = √3 ist.

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ja aber die 2.gleichung wäre ja erfüllt...

also muss das immer für beide Gleichungen zählen damit man mit dem x Weiterrechnen kann?

Und noch eine frage da man durch die erste Gleichung ja zwei mögliche Nullstellen hat -1 und 1 setzt man die dann in die 2.gleichung(fy(x,y) ein und versucht die auch null zu kriegen?

habe ich das richtig verstanden?

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Genau. BEIDE partiellen Ableitungen müssen gleichzeitig Null werden. Dann erst hat man eine kritische Stelle.

Answer 1

f(x,y) = (x³ - 3·x)/(1 + y²)

f'(x,y) = [3·(x² - 1)/(y² + 1), 2·x·y·(3 - x²)/(y² + 1)²] = [0, 0] --> (x = -1 ∧ y = 0) ∨ (x = 1 ∧ y = 0)

f''(x,y) = [6·x/(y² + 1), 6·y·(1 - x²)/(y² + 1)²; 6·y·(1 - x²)/(y² + 1)², 2·x·(x² - 3)·(3·y² - 1)/(y² + 1)³]

f''(-1, 0) = [-6, 0; 0, -4] --> Maximum

f''(1, 0) = [6, 0; 0, 4] --> Minimum

Comments

ja das habe ich schon verstanden, aber meine frage dazu ist wieso man auch nicht x=wurzel 3

nehmen kann das würde ja auch die 2.gleichung erfüllen...

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Kritische Punkte sind Punkte (x|y), an denen beide partiellen Ableitungen (gleichzeitig!) den Wert 0 haben.

Das ist für x= √3  aber nur bei f_y der Fall, nicht für f_x

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okay danke jetzt weiß ich bescheid :)