Eine Frage zum Ln - Trennbare DGL x'(t) = (1+x(t))/(1+t)

Question

ich bin an dieser Aufgabe: 

Es handelt sich ja hierbei um eine trennbare DGL.

Der Lösungsweg ist eigentlich klar (sofern er hier richtig ist)

Gleichung umstellen:

$\frac { 1 }{ 1+x(t) }x'(t)= \frac { 1}{ 1+t}$

Integral lösen:

$\int \frac { 1 }{ 1+x }dx= \int \frac { 1}{ 1+t} dt$

-> $\int \frac { 1 }{ 1+x }dx=ln(1+x)$ 

->$\int \frac { 1}{ 1+t} dt =ln(1+t)$

Gleichung aufstellen:

$ln(1+x)=ln(1+t)+c$

Jetzt kommen wir zum Problem, und zwar weiß ich nicht wie ich das Ding nach x auflöse:

Der Weg geht soweit ich weiß so:

$ln(t+1)+c=ln(e^{ln(t+1)+c})$ <- Ab hier verstehe ich das ganze nicht

$=ln(e^{c}(t+1)$

-> $ln(1+x)=ln(e^{c}(t+1)$

-> $1+x=e^{c}(t+1)$

->$x=e^{c}(t+1)-1$

->$x=e^c*te^c-1$

->$x=c*te^c-1$

Da sind wohl einige Logarithmus gesetzte und Umformungen im Spiel die mich verwirren. Wäre wirklich super wenn mir jemand helfen könnte!!

Answer 1

Comments

Was ich noch nicht so 100% verstehe ist warum die Konstante nun multipliziert wird, anstatt addiert ist es wegen dem e?

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Edit ich denke es ist wohl eins der Potenzgesetze die ich total verpennt habe, also x^a*x^b=x^a+b

und somit $$e^{ln(t+1)+c} = e^{ln(t+1)}*e^c=ln(t+1)*c$$

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Dieses Potenzgesetze führt dich auf die richtige Spur.

Beachte, dass e^C einfach durch eine neue Variable C1 ersetzt wurde. e^ (ln | a| )  wurde einfach zu |a| .

Nun musst nur noch sichergestellt werden, dass / ob / wie nund + und - herauskommen kann.

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Bei uns wurde in den Lösungsskizze der Betrag im Zusammenhang mit dem ln weggelassen. :/

Erlaubt man dann nicht automatisch einfach auch negative Werte für die konstante?

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Allgemein:

Logarithmus von negativen Zahlen ist nicht erlaubt.

Daher sind nach der Integration bei Grosserloewe Betragsstriche nötig.

Erst im letzten Schritt von Grosserloewe wird er überflüssig. Daher dann aber bei C1 alle Vorzeichen möglich.

Weil in der Fragestellung der Definitionsbereich auf (-1, unendlich) eingeschränkt ist, kann man die Beträge im Exponenten eigentlich weglassen und du musst nur noch schauen, ob die Konstante C1 denn überhaupt negativ oder Null sein kann. Was nicht möglich ist, solltest du explizit aussschliessen.

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Alles klar. Vielleicht wurden in der Lösungsskizze einer anderen Aufgabe die Betragsstriche beim ln auch einfach vergessen.

Ich würde sagen die Konstante c kann nicht 0 sein, da e^c immer größer null ist.

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Edit: Ich würde sagen die Konstante c kann nicht 0 oder negativ sein, da e^c immer größer null ist

Somit ist c>0. 

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c kann auch negativ sein, da oben steht c=±e^C

c=0 ist auch möglich, dann ergibt sich die konstante Lösung x=-1.

Die ist bei dir verloren gegangen , da du im ersten Schritt durch 1+x(t) geteilt hast.