Subadditivität überpüfen bei 2 Funktionen

Question

Ich habe folgende Funktionen gegeben:

f(x₁)=4/3(x₁)²

f(x₂)=340+3x₂

Nun soll ich prüfen ob die Subadditivität erfüllt ist, also ob

f(x)<f(x₁)+f(x₂).

Wie muss ich das hier machen?

Answer 1

wohl eher so:

mit x=x₁+x₂ sollst du prüfen f(x)<f(x₁)+f(x₂).

Und zwar wohl für jede der Funktionen einzeln.

Bei der zweiten  Funktion sähe das z.B. so aus f(x)=340+3x also

340+3(x₁+x₂)  < 340+3x₁ + 340+3x₂    

<==>  340+3x₁+3x₂ < 340+3x₁ + 340+3x₂  | -  ( 3x₁+3x₂  )

<==>          340 < 680    was 0ffenbar stimmt.

Bei  f(x)=(4/3)x²            wäre zu prüfen

(4/3)(x₁+x₂)²            < (4/3)x₁²             +(4/3)x₂²     | * 3/4          

<=> (x₁+x₂)²            <    x₁²             +   x₂²    

<=>   x₁²     +2x₁x₂        +   x₂²           <    x₁²             +   x₂²    

<=>         2x₁x₂          <   0

Und das ist für positive Werte falsch, also hier keine Subadd.