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Hallöle :)

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

gn (x):={

-n*x + 1     falls 0≤ x ≤ 1/n

0                falls x > 1/n

mit n∈ℕ und x≥0.

1. Ist gn für jedes n eine stetige Funktion?

2. Berechnen Sie die Grezfunktion g(x):= limn→∞ gn(x) mit x∈ℝ. Ist diese stetig?

3. Ist die Konvergenz der Funktionenfolge (gn) gleichmäßig?

Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand hier helfen könnte:)

Grüße Ralf

von

1 Antwort

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1. Ist gn für jedes n eine stetige Funktion?

Ja. Einziges Problem wäre die Stelle x=1/n, aber dort ist der Grenzwert

für x gegen 1/n gleich dem Funktionswert, nämlich beides 0.

2. Berechnen Sie die Grezfunktion g(x):= limn→∞ gn(x) mit x∈ℝ. Ist diese stetig?

g(x) = 1 für x=0   und g(x)=0 sonst.

ist also nicht stetig.


3. Ist die Konvergenz der Funktionenfolge (gn) gleichmäßig?   Nein; denn jede

gleichmäßig konvergente Funktionenfolge stetiger Funktionen konvergiert gegen

eine stetige Grenzfunktion.  Kannst du aber auch unmittelbar zeigen:

Wenn du betrachtest   Supremum aller |fn(x)-f(x) | für x≥0, dann ist

das gleich 1; denn für jedes n gibt es ja x-Werte zwischen 1/n und 0.

von 196 k 🚀

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