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Ich habe die folgende Definition :

Definition 5.2.1 (a) Zwei Matrizen A, A' aus K^nxn heißen ähnlich, wenn es

eine invertierbare Matrix S aus K^{nxn} gibt mit A' =  S^{-1}AS.

Also wenn ich eine Aufgabe habe, wobei es gesagt wird, dass A , B ähnlich sind.

Das bedeutet, dass

A = S^{-1}BS

und B = S^{-1}AS .

Ist das richtig ?

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2 Antworten

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Das bedeutet ,dass    es ein S gibt mit

A = S-1BS

und   es gibt ein S mit  B = S-1AS .Ist das richtig ? Ja!

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> dass A , B ähnlich sind.Das bedeutet ,dass  A = S-1BS und B = S-1AS

Woher kommt denn auf ein mal das S? In der Aufgabenstellung steht nur etwas von A und B. Und auch in der Definition von Ähnlichkeit ist nicht festgelegt, was S ist.

> wobei es gesagt wird,dass A , B ähnlich sind

Das heißt dann, dass es eine invertierbare Matrix S gibt, so das

        B = S-1·A·S

ist. Durch Linksmultiplikation dieser Gleichung mit (S-1)-1 und Rechsmultiplikation mit S-1 bekommt man dann

        (S-1)-1·B·S-1 = (S-1)-1·S-1·A·S·S-1 = A

also

        M-1·B·M = A

mit M = S-1. Wenn A, B ählich sind, dann sind also auch B, A ähnlich. Die Matrix, die verwendet wird, um A aus B zu bekommen, muss aber nicht die gleiche Matrix sein, mit der man B aus A bekommt.

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