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ich soll folgende komplexe Gleichung lösen:

z3 = -1


Ich komme dann auf folgende Lösungen:

z1 = cos (π/3) + i sin(π/3) = eiπ/3

z2 = cos (5π/3) + i sin(5π/3) = ei5π/3

z3 = cos (7π/3) + i sin(7π/3) = ei7π/3


Die Musterlösung zufolge sollte aber

z1 = eiπ/3 , z2 = e3iπ/3, z3 = e5iπ/3

rauskommen, wobei aber meiner Meinung nach z1 und z2 identisch sind...


Würde mich über eure Meinung freuen:)

von

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Beste Antwort

Hallo like,

wenn du eine richtige Lösung  z1  =  ei·π/3    [ ei·φ1 ]   hast, musst du  - wegen z3  - nur noch den Vollwinkel  2π durch 3 teilen und dann sukzessive zu  φ1  addieren, um die restlichen beiden Lösungen zu erhalten:

z2  =   ei·(π/3 + 2π/3)  =  ei·π    ;    z3  =  ei·(π + 2π/3)  =  e5π/3

[ der nächste Schritt (nur bei höherer Potenz von z) wäre dann 

ei·(5·π/3 + 2·π/3)  = e7·π/3  =  ei·(7π/3 - 2π)  =  ei·π/3  =  z1  ] 

-----------

Eine allgemeinere Beschreibung für spätere Fälle in einer meiner früheren Antworten findest du hier:

https://www.mathelounge.de/370331/wurzeln-bestimmen-sie-alle-komplexen-losungen-der-gleichung

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀
+1 Daumen

z1 und z3 deiner Lösung sind identisch.

Allerdings ist e3iπ/3 = e ≠ eiπ/3.

Übrigens: (-1)3 = -1 und zufälligerweise ist gerade e = -1.

von 74 k 🚀

Stimmen aber meine Lösungen?

Sie stimmen. Es sind aber nicht alle Lösungen.

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