Ob die obige Lösung die kleinstmögliche ist, weiß ich nicht.
Der Ansatz war: \(b=x\cdot y \cdot z\) und \(a=(x-1)\cdot b\)
$$\Rightarrow f=(x-2)^2\cdot y \cdot z$$
mit \(c=(y-1)\cdot b\) gibt dann
$$g=(y-2)^2\cdot x \cdot z$$
Die nächste Herausforderung besteht darin, ein Tripel \(x\), \(y\) und \(z\) zu finden, bei dem \(f\) Teiler von \(g\) ist - also \(g=k \cdot f\) - und \(f\) den Teiler \(k+1\) enthält. Durch Probieren findet man
$$x=3; \space y=6; \space z =3$$
was dann zu der obigen Lösung führt. Setzt man nun
$$x=3; \space y=6; \space z =3 \cdot n \quad \text{mit} \space n \in \mathbb{N}^+$$
So führt das zu
$$f = 18n; \space g=144n=(9-1)\cdot f$$
damit ist das \(h\) immer \(\in \mathbb{N}\), da \(9\) Teiler von \(f\) ist. Nochmal nachgerechnet:
$$h=\frac{(144n - 18n)^2}{144n + 18n}=98n$$Das ist nicht der einzige Algorithmus, um Lösungen zu generieren. Ich habe noch andere gefunden, die aber nicht weiter untersucht. Jedenfalls reicht es aus, um zu zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
Unabhängig davon lässt sich auch so leicht zeigen, dass jedes Vielfache einer Lösung wieder eine Lösung ist. Wenn man also eine Lösung findet, so gibt es auch unendlich viele.
Gruß Werner
