Harte Kopfnuss für Zahlentheoretiker: f(a,b) = (a-b)2/(a+b); g(b,c) = (b-c)2/(b+c); …

Question

Welche Werte erfüllen das folgende Gleichungssystem mit den vorgeschriebenen Bedingungen?

$$f(a,b)=\frac{(a-b)^2}{a+b}$$
$$g(b,c)=\frac{(b-c)^2}{b+c}$$
$$h(f,g)=\frac{(f-g)^2}{f+g}$$

$$a\ne b\ne c\ne f\ne g\ne h$$
$$a,b,c,f,g,h \in \mathbb{N^+}$$

Gibt es keine, eine, eine bestimmte Anzahl oder unendlich viele Lösungen?

Beweis ?

Answer 1

Ich mach mal 'ne Vorlage:

a=108 b=54 c=270 f=18 g=144 h=98

und IMHO gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Mehr dazu vielleicht heute abend.

Comments

Scheint zu stimmen gemäß Wertetest à la Wolframalpha.

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Offenbar gibt es unendlich viele Lösungen für das Problem.

Ist die oben gepostete die kleinstmögliche ?

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Ob die obige Lösung die kleinstmögliche ist, weiß ich nicht.

Der Ansatz war: $b=x\cdot y \cdot z$ und $a=(x-1)\cdot b$

$$\Rightarrow f=(x-2)^2\cdot y \cdot z$$

mit $c=(y-1)\cdot b$ gibt dann

$$g=(y-2)^2\cdot x \cdot z$$

Die nächste Herausforderung besteht darin, ein Tripel $x$, $y$ und $z$ zu finden, bei dem $f$ Teiler von $g$ ist - also $g=k \cdot f$ - und $f$ den Teiler $k+1$ enthält. Durch Probieren findet man

$$x=3; \space y=6; \space z =3$$

was dann zu der obigen Lösung führt. Setzt man nun

$$x=3; \space y=6; \space z =3 \cdot n \quad \text{mit} \space n \in \mathbb{N}^+$$

So führt das zu

$$f = 18n; \space g=144n=(9-1)\cdot f$$

damit ist das $h$ immer $\in \mathbb{N}$, da $9$ Teiler von $f$ ist. Nochmal nachgerechnet:

$$h=\frac{(144n - 18n)^2}{144n + 18n}=98n$$Das ist nicht der einzige Algorithmus, um Lösungen zu generieren. Ich habe noch andere gefunden, die aber nicht weiter untersucht. Jedenfalls reicht es aus, um zu zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.

Unabhängig davon lässt sich auch so leicht zeigen, dass jedes Vielfache einer Lösung wieder eine Lösung ist. Wenn man also eine Lösung findet, so gibt es auch unendlich viele.

Gruß Werner

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Die kleinstmögliche Lösung habe ich inzwischen mit Computerhilfe gefunden:

$$a=9; \space b=18; \space c=36; \space f=3; \space g=6; \space h=1$$

'kleinstmöglich' im Sinne von $a+b+c \space\rightarrow \text{min}$

und zu jeder Lösung gibt es auch eine 'Spiegellösung'. Hier werden die Werte für $a$ und $c$ und die für $f$ und $g$ jeweils vertauscht.

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Ganz vielen herzlichen Dank!