Betrag. Komplex. Warum ist das eine Äquivalenz? |z-1-i| = |z+1+i| <=> (a-1)^2 + (b-1)^2 = (a+1)^2 + (b+1)^2

Question

Wir sind in den Komplexen Zahlen mit z = a+bi

|z-1-i| = |z+1+i|  

<=> 

(a-1)^2 + (b-1)^2 = (a+1)^2 + (b+1)^2

Answer 1

es gilt: $$|z-1-i|=|a+bi-1-i|=|(a-1)+(b-1)i|$$ $$|z+1+i|=|a+bi+1+i|=|(a+1)+(b+1)i|$$ Löst Du das gemäß der Definition des Betrags auf, so erhältst Du: $$(a-1)^2+(b-1)^2=(a+1)^2+(b+1)^2$$ (mit anschließendem Quadrieren, damit die Wurzelzeichen verschwinden). Im Prinzip wendest Du nur die Definition des Betrags an und setzt für \(z\) stellvertretend die allgemeine Form \(a+bi\) ein. Anschließend musst Du nur noch Real- und Imaginärteil zusammenfassen (die Klammern sind nicht nötig, sondern dienen lediglich der besseren Veranschaulichung).

André

Comments

Welche Definition?

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Die Definition des Betrages, die ihr im Skript habt. Z.B. die hier.

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|z| = sqrt(x^2 + y^2)?

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Ja, genau die. Du musst am Ende nur noch durch Quadrieren die Wurzelzeichen wegbekommen.

Answer 2

quadriere beide Seiten. Da die Beträge positiv sind handelt es sich hierbei um eine Äquivalenzumformung.

Answer 3

wenn z = a+bi ist, ist hier doch nur die Def. für den Betrag

angewendet worden.

Comments

Wie geht die Definition genau?