Körperkonstruktion mit dem Zeigen einer Äquivalenz

Question

Aufgabe:

Sei (K,+,⋅,0,1) ein Körper. Sei z∈K und definiere

[+]:K^2xK^2→K^2,(a,b)[+](c,d):=(a+c,b+d)

[⋅]:K^2xK^2→K^2,(a,b)[⋅](c,d):= (ac+zbd,ad+bc)

Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass (K^2,[+],[⋅],(0,0),(1,0)) ein komm. Ring mit Eins ist.

Zu zeigen:
(K2,[+],[⋅],(0,0),(1,0)) ist ein Körper ⇔∀a∈K:a^2≠z

Hinweis: Es gilt für alle a,b∈K: (a,b)[⋅](a,−b) = (a^2−z(b^2),0)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht, wie ich anfangen soll.

Ich wollte zunächst die Richtung "=>" zeigen.

Es gelte also, (K2,[+],[⋅],(0,0),(1,0)) ist ein Körper.

Sei a∈K.

Ich habe leider aber überhaupt keine Ahnung, wie ich von K^2 jetzt auf K schließen und wie a^2≠z überhaupt gezeigt werden kann.

Comments

Kommt dir https://www.mathelounge.de/627822/komplexen-zahlen-ringe-und-korper bekannt vor?

Answer 1

Es gelte also, (K^2,[+],[⋅],(0,0),(1,0)) ist ein Körper und a∈K.

==>  jedes (a,b) ∈ K^2 \ {(0,0)} besitzt ein Inverses, also

insbesondere auch  (a,1). Es gibt also (x,y) ∈ K^2 \ {(0,0)}

mit  (a,1) [.] (x,y) = ( 1,0)

<=>  (ax + zy, ay+x)= ( 1,0)

<=>  ax+zy=1   und  ay+x=0

<=>  ax+zy=1   und    x=-ay

Einsetzen in die 1. Gleichung gibt

==>  -a^2 y + zy = 1

<=> (-a^2 +z) * y = 1

Also sind beide Faktoren nicht 0

insbesondere -a^2 + z ≠ 0

also   a^2  ≠ z.

Comments

Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!

Ich sitze auch an dieser Aufgabe und bin bei der Rückrichtung.

Ich habe zum Lösen der Rückrichtung ein lineares Gleichungssystem aufgestellt und somit einmal folgendermaßen umgeformt:

ac + zbd = 1

ad + bc = 0

Nun habe ich nach Umformen herausbekommen: c = a / a^2 - xb^2 und d = -b / a^2 - xb^2.

Nun gibt es aber den Fall, dass der Nenner a^2 - xb^2 = 0 gilt und somit wäre der Nenner dann gleich 0, was ja nicht gut ist. Ich habe dann folgende Fallunterscheidung vorgenommen:

1.) a^2 = 0 und xb^2 = 0: Dann muss somit auch a = 0 gelten. Außerdem muss b^2 = 0 gelten, da x != a^2 gilt. Somit gilt dann auch b = 0. Wir haben dann also a = 0 und b = 0 und da somit (a, b) = (0, 0) das neutrale Element aus K^2 ist, gibt es dazu kein Inverses.

2.) a != 0 und b != 0: Dann gilt folgende Äquivalenz: a^2 - xb^2 = 0 <==> a^2 = xb^2.

Wir haben also a^2 = xb^2. (was natürlich in 1. auch gilt, aber für die Argumentation irrelevant ist) Nun weiß ich leider nicht weiter und weiß nicht, wie in diesem Fall vorgegangen werden soll.

Meine konkrete Frage dazu lautet: Wie muss ich mein c und d setzen, wenn a^2 = xb^2 gilt?

Über weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar!

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Irgendwie wird ja wohl auch der Hinweis gebraucht.

Deine Rechnung zeigt ja jedenfalls:

Falls a^2 ≠ z gilt, haben alle von der Form (a,1) ein Inverses,

nämlich (   a/ (a^2-z) ; -1/(a^2-z)  )

Für den Fall (o,o) hattest du ja schon gesagt: Es gibt kein Inverses,

muss es aber auch nicht, da das ja die 0 in dem Körper ist.

Wie man jetzt das erste auf den allgemeinen Fall (a,b) ausdehnt,

da habe ich auch keine Idee. Ich vermute, dass das mit dem Hinweis

irgendwie machbar ist.

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Okay, trotzdem danke für deinen Kommentar!