Hallo Limonade,
Du hast hier ein Gemisch aus Eis und Wasser vorliegen mit unterschiedlichen Temperaturen. Gleichzeitig, wird das Wasser noch erwärmt. In wie weit das Wasser im ersten Moment kälter (durch das Eis) oder wärmer (durch den Tauchsieder) wird, lässt sich nicht pauschal beantworten. Das ist u.a. davon abhängig wie stark gerührt wird und welche Größe und Form die Eisstücke haben - d.h. wie stark der Wärmeübergang vom Wasser in das Eis ist.
Es sind vier Energien zu betrachten. \(E_1\) ist notwendig, um das Eis auf \(0°\) zu bringen; \(E_2\) schmilzt das Eis, \(E_3\) erwärmt das geschmolzene Eis auf \(10°\) und \(E_4\) sei die Energie, die \(1,05 \text{kg}\) Wasser auf \(100°\) bringt. Das \(c_{Eis}\) ist lt. Wiki
$$c_{Eis}= 2,060 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot K}$$
Daraus folgt
$$E_1 = c_{Eis} \cdot 0,05 \text{kg} \cdot 20\text{°K}= 2,06 \text{kJ}$$
Der Tauchsieder hat \(500\text{W} = 500\frac{\text{J}}{s} \). Würde er also nur das Eis erwärmen, hätte er es in gut \(4\text{s}\) auf \(0°\) gebracht.
Die spezifische Schmelzwärme \(c_S\) ist lt. Wiki
$$c_S=333,5 \frac{\text{kJ}}{kg}$$
was deutlich höher ist als das \(c_{Eis}\) (s.o.). Damit ist \(E_2\)
$$E_2= c_s \cdot 0,05 \text{kg} = 16,675 \text{kJ}$$
Die Wärmekapazität von Wasser \(c_W\) ist \(c_W=4,184 \frac{kJ}{kg \cdot K}\). Demnach ist
$$E_3 = c_W \cdot 0,05 \text{kg} \cdot 10\text{°K} = 2,092 \text{kJ}$$
Wenn man mal davon ausgeht, dass sich das Wasser nicht wesentlich erwärmt bis das Eis geschmolzen ist, muss der Tauchsieder die Energie
$$E_1+E_2+E_3 \approx 20,8 \text{kJ}$$
aufbringen, bis die Temperatur signifikant ansteigt. Dafür benötigt er
$$t_1 \approx 20,8 \text{kJ} \div 500\frac{\text{J}}{s} \approx 41,7 \text{s}$$
solange kann man davon ausgehend, dass die Temperatur weitgehend konstant bleibt. Der letzte Energieanteil ist
$$E_4= c_W \cdot 1,05 \text{kg} \cdot 90 \text{°K} \approx 395,4 \text{kJ}$$
und das schafft der Tauchsieder in der Zeit
$$t_2 \approx 395,4 \text{kJ} \div500\frac{\text{J}}{s} \approx 791 \text{s} = 13 \text{min} \space 11 \text{s}$$
in dieser Zeit wird die Temperatur linear über der Zeit ansteigen.
zu (a) .. zunächst etwa \(46\text{s}\) konstant, dann \(879\text{s}\) linear ansteigend (bei \(\eta = 0,9\))
zu (b) \(E_{ges}=E_1+E_2+E_3+E_4 \approx 416,2 \text{kJ}\)
zu (c) \(\approx 925 \text{s} \) siehe (a)
zu (d) -> länger
Gruß Werner
PS.: und da ich den Wirkungsgrad unterschlagen habe, darfst Du das nochmal mit \(450 \text{W}\) rechnen. Das schaffst Du aber alleine - oder?
