Wie muss k gewählt werden, damit der Graph an der Stelle x=3 einen Extrempunkt hat?

Question

Fk (x)= -x^3+kx^2+(k-1)x

Klar, man muss  die Nullstellen der 1. Ableitung bilden, aber wie bezieht man das dann auf die x=3 um das entsprechende k zu erhalten?

Answer 1

f'k(x)=-3x^2+2kx+k-1

f'k(3)=-27+7k-1=0

7k=28

k=4

Answer 2

Hallo Gockelinho,

wie Du richtig erkannt hast, brauchen wir hier die erste Ableitung. Es ist:

\(f_k(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x\)

\(f_k'(x)=-3x^2+2kx+k-1\)

Um einen Extrempunkt zu ermitteln, setzt man die erste Ableitung gleich \(0\). Hier ist zusätzlich noch angegeben, an welcher Stelle der Extrempunkt liegen soll, nämlich \(x=3\). D.h.:

\(f_k'(3)=0\)

\(\Longleftrightarrow-3\cdot3^2+2k\cdot 3+k-1=0\mid \) Zusammenfassen

\(\Longleftrightarrow-28+7k=0\mid \) beidseitige Subtraktion von \(-7k\)

\(\Longleftrightarrow-28=-7k\mid \) beidseitige Division durch \(-7\)

\(\Longleftrightarrow k=4\)

André