Extremwertaufgabe: quaderförmige Pakete mit maximalem Volumen

Question

Eine Kartonagenfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein: die Länge soll nicht größer als 200cm sein.
Länge plus Umfang der quadratischen Seitenfläche soll 360 cm gross sein. Ermittle das paket mit dem größteb volumen

Answer 1

 

a = Seitenlänge der Quadrate

b ≤ 200 = Länge des Pakets

4a + b = 360, also b = 360 - 4a

V = a² * b

Obige Bedingungen eingesetzt ergibt: 

V = a² * (360 - 4a) = -4a³ + 360a²

V' = -12a² + 720a

V'' = -24a + 720

Notwendige Bedingung für Maximum: V' = 0

-12a² + 720a = a * (-12a + 720) = 0

a₁ = 0 | Seitenlänge der Quadrate = 0

a₂ = 720/12 = 60

Hinreichende Bedingung für Maximum: V'' < 0

-24*60 + 720 = -1440 + 720 = - 720 < 0

Also hat das Quadrat die Seitenlänge a = 60 cm

Die Länge des Pakets beträgt b = 360 cm - 4 * 60 cm = 120 cm | Bedingung Länge ≤ 200 erfüllt

Länge + Umfang = 120 + 4 * 60 = 360 | Bedingung erfüllt

Das Volumen des Pakets beträgt

V = 60 cm * 60 cm * 120 cm = 432000 cm³

Besten Gruß