gebrochen rationale Gleichung Lösungsmenge?

Question

x^2+3x+2/x-1=4x^2+4x-36/x^2-4x+3

gesucht ist die Lösungsmenge

Comments

Wo sind die Klammern)? Was steht beim Bruch im Zähler und Nenner?

Answer 1

$$x^2+3x+\frac{2}{x}-1=4x^2+4x-\frac{36}{x^2}+3 \quad |\cdot x^2$$$$x^4+3x^3+2x-x^2=4x^4+4x^3-36+3x^2$$$$x^4+3x^3-x^2+2x=4x^4+4x^3+3x^2-36 \quad |-(4x^4+4x^3+3x^2-36)$$$$-3x^4-x^3-4x^2+2x+36=0 $$ Nun wirds algebraisch schwer, aber nicht unmöglich.

Siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

Außerdem kannst du natürlich immer noch ein Näherungsverfahren verwenden ---> z. B. das Newtonverfahren.

Comments

Du hast eine Gleichung der Form \(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=0\). Substituiere die Koeffizienten wie folgt:$$\left. \begin{array}{l}{ \alpha = - \frac { 3 B ^ { 2 } } { 8 A ^ { 2 } } + \frac { C } { A } }\\{ \beta = \frac { B ^ { 3 } } { 8 A ^ { 3 } } - \frac { B C } { 2 A ^ { 2 } } + \frac { D } { A } }\\{ \gamma = - \frac { 3 B ^ { 4 } } { 256 A ^ { 4 } } + \frac { B ^ { 2 } C } { 16 A ^ { 3 } } - \frac { B D } { 4 A ^ { 2 } } + \frac { E } { A } }\end{array} \right.$$ Dadurch reduziert sich die Gleichung zu \(u^4+ \alpha u^2+\beta u+\gamma\)

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung#Zusammenfassung

Dann gehts so weiter wie dort beschrieben!

Answer 2

Mal angenommen, die Gleichung lautet: $$\frac{x^2+3x+2}{x-1}=\frac{4x^2+4x-36}{x^2-4x+3} $$ Dann kann man den rechten Nenner faktorisieren: $$\frac{x^2+3x+2}{x-1} = \frac{4x^2+4x-36}{(x-1)(x-3)} \quad \left|\cdot (x-1), \space x \ne 1 \right.  \\ x^2+3x+2= \frac{4x^2+4x-36}{x-3}$$ und nach der Multiplikation mit \((x-1)\) sieht es bereits etwas freundlicher aus. Unter der Annahmen das \(x\ne 3\) ist, kann man nun mit \(x-3\) multiplizieren: $$x^3+3x^2+2x - 3x^2-9x-6 = 4x^2+4x-36 \\ x^3 - 4x^2 -11 x +30 = 0 $$ Hier ist nun fröhliches Nullstellenraten angesagt. \(x_1=2\) sollte recht fix zu finden sein. Also Division durch \((x-2)\) und anschließend pq-Formel$$x^3 - 4x^2 -11 x +30 = 0 \quad \left|\div(x-2), \right. \space x_1 = 2\\ x^2 - 2x  -15 = 0 \\ x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + 15} = 1 \pm 4 \\ x_2 = -3, \space x_3 = 5$$ Ein Plot beider Terme im Vorfeld hätte auch geholfen: ~plot~ (x^2+3x+2)/(x-1);(4x^2+4x-36)/(x^2-4x+3);[[-6|+8|-3|15]];{2|12};{-3|-1/2};{5|21/2} ~plot~ Der blaue und der rote Graph schneiden sich jeweils bei \(-3\), \(2\) und \(5\).

Gruß Werner