Die drei simultanen, linearen Kongruenzen
2x = 10 mod 12 | :2
4x = 3 mod 5 | *4
6x = 3 mod 9 | :3
sind äquivalent zu
x = 5 mod 6 | zerlegen
16x = 12 mod 5 | vereinfachen
2x = 1 mod 3 | *2 und vereinfachen
und damit auch zu
x = 5 mod 2 | vereinfachen
x = 5 mod 3 | fällt weg, da äquivalent zur letzten
x = 2 mod 5
x = 2 mod 3
und schließlich zu:
x = 1 mod 2
x = 2 mod 5
x = 2 mod 3
Bis hierhin stimmen unsere Ergebnisse, wenn ich richtig sehe, überein. Die Module sind nun teilerfremd, so dass das System nach dem Chinesischen Restsatz genau eine Lösung \(x \text{ mod} \text{ kgV}(2,5,3)=30\) besitzt.
Wegen der beiden letzten Gleichungen muss für die Lösung \(x = 2 \text{ mod } 15\) gelten. Das macht die verbleibenden Überlegungen sehr übersichtlich, denn einsetzen der beiden verbleibenden Kandidaten \(x = 2 \text{ mod } 30\) und \(x = 17 \text{ mod } 30\) in die erste Gleichung identifiziert die Lösung:
$$ x = 17 \text{ mod } 30. $$(Da ich solche Rechnungen nicht oft mache, hoffe ich, dass sie fehlerfrei und nachvollziehbar ist.)
