Rechnung falsch? Ableitungen bei partikulärer Lösung von linearer inhomogener Dgl. y'' 3y' + 2y = e^x .

Question

Was ist an meiner bisherigen  Rechnung falsch? 

Ich habe glaube ich etwas bei Schritt 2 falsch gemacht, eventuell die Ableitungen? Siehe Bild.

Answer 1

Hallo Andurs,

y " - 3 y' + 2y = e^x

y_h = c₁ * e^x + c₂ * e^2x   (soweit hattest du es ja !)

Ansatz für  y_p =  A * x * e^x   ,   y_p'  =  A * e^x * (x+1)   ,   y"  =  A * e^x * (x+2) 

  findest du hier für zwei  verschiedene Nullstellen (1 und 2) der charakeristischen Gleichung 

            http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

y_p'  =  A * e^x * (x+1)   ,   y"  =  A * e^x * (x+2) 

Diese Terme setzt du in die DGL ein:

A * e^x * (x+2)  - 3 * A * e^x * (x+1)  +  2 * A  x * e^x  =  e^x

A * e^x * ( x+2 - 3 * (x+1) + 2x)  =  e^x 

 A * e^x * ( -1)   =  e^x   

Koeffizientenvergleich:

A = - 1   ^→   y_p =  - x * e^x

allgemeine Lösung:

y  =  y_h +  y_p  =  c₁ * e^x + c₂ * e^2x  - x * e^x 

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Kontrolle durch Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%22+-+3y%27+%2B+2y+%3D+e%5Ex

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>   In der endgültigen Lösung ist kein A mehr drin.

Das ist für die Variablen der Ansatzfunktion  immer  so, da diese durch den Koeffitzientenvergleich  berechnet  werden!

Gruß Wolfgang

Comments

Danke. Macht man den Koeffizientenvergleich nur, um A herauszubekommen? Das heißt, wenn ich A anders herausbekommen, muss ich den nicht machen?

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> Macht man den Koeffizientenvergleich nur, um A herauszubekommen?

1) ja

> .... wenn ich A anders herausbekommen, muss ich den nicht machen? 

2) Müsstest du nicht, würde mich aber erstaunen, wenn dir das gelänge :-)

Answer 2

y_p= A x e^x

y_p'= A e^x(x+1)

y_p`` =A e^x(x+2)

Comments

Danke. In der endgültigen Lösung ist kein A mehr drin. Das heißt, da e^x als Störfunktion keinen Faktor davor hat, kann ich das A dann einfach weglassen? Ist das richtig?

Zweite Frage: Gibt es eine Regel, ob man bei den Lamas immer zuerst die niedrigere Zahl nennt, also immer Lambda eins kleiner als Lambda zwei und so weiter?

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 kann ich das A dann einfach weglassen? Ist das richtig? NEIN 

Jetzt setzte Du yp , yp' und yp'' in die Aufgabe ein und führst einen Koeffizientenvergleich durch

Damit ergibt sich für A= -1

->

y_p= -x e^x

y= y_h+y_p

Zweite Frage: Gibt es eine Regel, ob man bei den Lamas immer zuerst die niedrigere Zahl nennt, also immer Lambda eins kleiner als Lambda zwei und so weiter?  nein

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Eine Frage habe ich doch noch. Den Koeffizientenvergleich habe ich nur für andere Formen im PDF, also mit x^2, x^3 usw. Wie mache ich das hier bei e^x denn?