Stelle berechnen, ab der Funktionswerte von f(x) = 1/x betragsmässig kleiner oder gleich 0.1 ist

Question

Aufgabe 1 bitte einmal Rechenweg mit Erklärung 

Answer 1

Hallo JB,

eine  solche Stelle gibt es bei keiner der 4 Aufgaben,  es gibt zwei Intervalle für x

z.B. a)

|f(x) - 0| ≤ 0,1   ⇔   - 0,1 ≤  1/x  ≤  0,1

Für x > 0     x ≥ 10       ⇔   x ∈ [ 10 , ∞ [           , also ab x = 10 aufwärts

für x < 0      x ≤ - 10     ⇔   x ∈  ] - ∞ , - 10 ]      , also ab x = -10 abwärts

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

eine  solche Stelle gibt es bei keiner der 4 Aufgaben,

ich will nicht als kleinlich gelten aber in der
Aufgabenstellung hieß es völlig korrekt

ab welcher Stelle

mfg Georg

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In der eigentlichen Fragestellung heisst es "höchstens". Das müsste in der Überschrift statt "kleiner als 0.1" als "kleiner oder gleich 0.1" übersetzt werden. Falls das dort Platz hat, korrigiere ich das.

Wenn man die Frage auf die beiden Grenzwerte separat bezieht, gibt es bei beiden so eine Stelle.

Also

1. Fall: lim_(x->unendlich) f(x)

Ab x= 10 ist der angegebene Betrag kleiner als 0.1.

2. Fall: lim_(x-> - unendlich) f(x)

Ab x= -10 ist der angegebene Betrag kleiner als 0.1.

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@Gerorg,

> ich will nicht als kleinlich gelten aber in der 
Aufgabenstellung hieß es völlig korrekt

ab welcher Stelle

Ja, und welche  Stelle  ist das nun nach deiner Meinung ?

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Hallo Wolfgang,
ich nehme an du willst den Aufgabentext
geändert sehen in :
ab welchen Stellen ?

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Ja:

ab welchen Stellen ist... jeweils ...

Answer 2

1.)
| 1 / x | < 0.1
beide Seiten sind positiv
Es gilt dann auch
( 1 / x )^2 < 0.1^2
1 / x^2 < 0.01
1 < 0.01 * x^2
x^2 > 1 / 0.01
x^2 > 100  | √
x > + 10
x < -10

Es gibt auch noch andere Lösungswege.
bei Bedarf nachfragen.

Comments

Vielleicht doch einfacher mit Fallunterscheidung

| 1 / x | < 0.1

1.Fall  1 / x ist postiv dann gilt  x > 0 und
1 / x  < 0.1   | * x ( x positiv )
1 < 0.1 * x
x > 1 / 0.1
x > 10

2.Fall  1 / x ist negativ dann gilt  x < 0 und
( 1 / x  ) * -1 < 0.1   | * x ( x positiv )
-1 / x < 0.1  | * x ( x ist negativ )
1 < 0.1 * x
x < -1 / 0.1
x < -10

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Sollte es nicht | 1 / x | ≤ 0.1 heißen?

Answer 3

Hier die Lösung für alle vier Teilaufgaben ohne überflüssigen Schnickschnack in drei Schritten: $$ \left| \dfrac 1x - 0 \right| \le u \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac 1{\left| x \right|} \le u \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac 1u \le \left| x \right|. $$