Komplexe Nullstellen x6 +1

Question

wie erhalte ich alle Singularitäten.

$$\frac {1}{1 + x^6 }$$

ich weiß, dass zwei Nullstellen

$$x^6 + 1 = 0\\ x_{1} = i \\x_{2} = -i$$

Nur fehlen mir noch 4 weitere...

Answer 1

Hi,

wenn Du nicht mit De Moivre/Exponentialform arbeiten willst, kannst Du erstmal faktorisieren. Du kennst ja schon die Lösungen x_(1) = -i und x_(2) = i und folglich einen Faktor zu x²+1. Schnell (spätestens mittels Polynomdivision) ergibt sich:

x⁶+1 = (x²+1)(x⁴-2x²+1) = 0

Den zweiten Faktor kann man mittels Substitution schnell lösen.

Grüßen

Answer 2

1 +x⁶= (x²+1)(x⁴-x²+1)

------->Satz vom Nullprodukt

x² +1=0 ->x_1.2= ± i

x⁴-x²+1=0 ; z=x²

z²-z+1=0

z_1.2=  1/2 ±√ (1/4 -1)

z_1.2=  1/2 ± i (√ 3)/2

->Resubstitution

z=x²

Comments

Was heißt z_3.4.5.6=  1/2 ±√ 1/4 -1 ?

Answer 3

Die Lösungen von x⁶ = -1 liegen alle auf einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung der komplexen Zahlenebene. Sie bilden ein reguläres 6-Eck. D.h. du kannst über die Winkel im regulären Sechseck die restlichen Singularitäten finden.

Illustration:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E6+%3D+-1 

Du kannst bei den "roots" auf approximate forms umstellen und erraten, dass gewisse Werte 1/2 sind. Die übrigen sind einfach mit Wurzeln auszdrücken.