Wie geht man bei dieser Geometrieaufgabe vor? Senkrechte Linien in Rechteck

Question

Wie geht man bei dieser Geometrieaufgabe vor ? Figur in Viereck 

Was berechnet man hier Schritt für schritt ? 

!!

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Mit welchen Zahlen muss man denn hier rechnen wie kommt man dann Schritt für schritt auf das Ergebnis D) 160?

Answer 1

Hallo bobomo,

Zunächst gilt es zu erkennen, dass in der Skizze mehrere ähnliche rechtwinklige Dreiecke enthalten sind.

Ich habe Dir das grüne, das gelbe und das hellblaue mal markiert. 'ähnlich' bedeutet, dass alle WInkel in diesen Dreiecken gleich sind und alle Strecken untereinander in einem festen Verhältnis stehen. Ich betrachte jetzt nur die Katheten der Dreiecke.

Es existiert (ein zunächst unbekannter) Faktor $f$ mit dem man die kürzere Kathete multipliziert und die längere erhält. Also im gelben Dreieck

$$FC = f \cdot FB$$

Das muss im hellblauen genauso gelten (da ähnlich!)

$$DF = f \cdot FC$$

$DF$ ist aber laut Aufgabestellung $DF=4 \cdot FB$ und $FC = f \cdot FB$ - einsetzten ergibt dann

$$4 \cdot FB = f \cdot f \cdot FB = f^2 \cdot FB \quad \Rightarrow \space f=2$$

D.h. jede lange Kathete ist genau doppelt so lang, wie die kürzere. Also ist

$$FB = 2 \cdot EF = 4 \text{cm}$$

$$FC = 2 \cdot FB = 8\text{cm}$$

Auch das Dreieck $BCD$ ist ähnlich zu den farblich markierten. Demnach gilt auch hier das gleiche Kathetenverhältnis

$$CD = 2 \cdot BC$$

Die Fläche $A$ des Rechtecks $ABCD$ ist Breite mal Höhe - also:

$$A = CD \cdot 2 \cdot BC = 2 \cdot |BC|^2$$

Um $|BC|^2$ zu berechnen betrachte ich das Dreieck $EBC$. Nach Pythagoras gilt:

$$|BC|^2 = |EC|^2 - |EB|^2 = (EF + FC)^2 - (|EF|^2 + | FB|^2)$$ $$\space= \left( 2\text{cm} + 8\text{cm}\right)^2 - \left( (2\text{cm})^2 + (4\text{cm})^2\right)= 80\text{cm}^2$$

Also ist

$$A= 2 \cdot |BC|^2 = 160\text{cm}^2$$

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... und kaum hatte ich die Antwort geschrieben, da fiel mir eine einfachere Lösung ein. Vor lauter Pythagoras hatte ich es zunächst nicht gesehen.

Vom Dreieck $BCD$ sind nach obiger Überlegung mit den ähnlichen Dreiecken die Grundseite $BD$

$$BD = DF + FB = 4\cdot FB + FB = 5 \cdot 4 \text{cm}= 20 \text{cm}$$

und die Höhe $FC= 8 \text{cm}$ bekannt (s.o.). Die Fläche $A$ des Rechtecks ist:

$$A = 2 \cdot A(BCD) = 2 \cdot \frac{1}{2} BD \cdot FC$$$$\space= 2\cdot \frac{1}{2} \cdot 20 \text{cm} \cdot 8 \text{cm}=160 \text{cm}^2$$

Gruß Werner

Answer 2

Die Dreiecke ΔEFB und ΔCFD sind ähnlich. Deshalb ist |EF| / |CF| = |FB| / |DF|. Damit kann |CF| berechnet werden.

Die Dreiecke ΔEFB und ΔBFC sind ähnlich. Deshalb ist |EF| / |FB| = |FB| / |FC|. Damit kann |FB| berechnet werden.

In dem Dreieck ΔBFC kann dann mit Pythagoras |BC| berechnet werden.

Mittels |DF| = 4|FB| kann |DF| berechnet werden.

In dem Dreieck ΔCDF kann dann mit Pythagoras |DC| berechnet werden.

A(ABCD) = |BC|·|DC|.

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Mit welchen Zahlen muss man denn hier rechnen wie kommt man dann Schritt für schritt auf das Ergebnis D) 160?