Bestimme alle reellen Zahlen z ≤ 100 000, für die positive ganze Zahlen m und n existieren

Question

Ich habe gerade eine Aufgabe vor mir und bin ein wenig am Verzweifeln. Sie lautet wie folgt.

Bestimme alle reellen Zahlen z ≤ 100 000, für die positive ganze Zahlen m und n existieren, die die folgenden zwei Gleichungen erfüllen.

(I) z − n² = m⁴
(II) (n + 1)² − z = 2^m

Mir fiel zunächst einmal auf, dass man die Zahl der möglichen Werte deutlich verringern kann. Weil nämlich z = n² + n⁴, muss z aufgrund der Tatsache

m,n ∈ ℕ

→ z ∈ N

außerdem habe ich herausgefunden, dass m ungerade (und ganzzahlig nach Definition) sein muss, damit es ein ganzzahliges n gibt.

Damit kam ich dann bereits durch probieren schnell zu meiner ersten Lösung.

m = 1, n = 1, z = 2

Ist dieser Ansatz nachvollziehbar und wie könnte ich die Existenz weiterer möglicher Werte für Z widerlegen?

Answer 1

Richtig m muss ungerade sein. Löst du beide Gleichungen nach z auf und setzt sie gleich, erhältst du:

$$2n+1=m^4+2^m$$ bzw.

$$n=\frac{m^4+2^m-1}{2}$$

Nun kannst du für m einfach die ungeraden natürlichen Zahlen einsetzen und erhältst das dazugehörige n. Über:

$$ z=n^2+m^4$$

Berechnest du nun z. Wenn du nun noch wissen willst, für welche m dein z kleiner als die gegebene Schranke ist, musst du nur noch einsetzen:

$$ z={\left(\frac{m^4+2^m-1}{2}\right)}^2+m^4 \le 100000$$

Das berechnen:

$$ 1\le m<5 $$

Gruß

Comments

Wenn es sich hierbei um eine Wettbewerbsaufgabe handelt, kann meine Antwort auch gerne gelöscht werden.