Extremwertaufgabe rechteckiges Spielfeld

Question

Folgende Aufgabe:

Es soll ein rechteckiges Spielfeld mit den Seitenlängen a und b gebildet werden. 

An zwei gegenüberliegenden Seiten des Spielfelds wird je ein Halbkreis angelegt, der nahtlos mit der Seite des Spielfeldes abschließt. Der Umfang U soll die konstante Größe 5 haben.

Welches ist der maximale Flächeninhalt F, den das so umschlossene rechteckige Spielfeld haben kann?

Weiß dass man da einen Extremwert bilden muss, aber wie ich da ansetzen muss weiß ich nicht.

Answer 1

Rechteckfläche des Spielfeldes
a * b ( max ist gesucht )

U der beiden Halbkreise
b * π

Umfang insgesamt

U = 2 * a + b * π = 5
b = ( 5 - 2a ) / π

A = a * b = a * ( 5 - 2a ) / π
max Fläche : 1.Ableitung bilden, zu null setzen
a ausrechnen
A =( 5*a - 2a^2 ) / π
A ´( a ) = ( 5 - 4a ) / π
( 5 - 4a ) / π = 0
4a = 5
a = 5/4
b = ( 5 - 2a ) / π
b = ( 5 - 2*5/4 ) / π
b = 0.796

Probe
U = 2 * 5/4 + 0.796 * π = 5 stimmt
A ( max ) = a * b = 1.25 * 0.796 = 0.995

Answer 2

U = 2·pi·r + 2·a = 5 --> a = 2.5 - pi·r

A = 2·r·a

A = 2·r·(2.5 - pi·r) = 5·r - 2·pi·r^2

A' = 5 - 4·pi·r = 0 --> r = 5/(4·pi)

A = 5·5/(4·pi) - 2·pi·(5/(4·pi))^2 = 25/(8·pi) = 0.9947