Beweise: 8 teilt n2-1, wenn n ungerade ist.

Question

Wie beweist man die Behauptung: Für alle ungeraden natürlichen Zahlen n>=3 ist n² - 1 ein Vielfaches von 8.

Answer 1

n² - 1

n ist ungerade --> n = 2*k + 1

= (2·k + 1)² - 1

= 4·k² + 4·k + 1 - 1

= 4·k·(k + 1)

Nun ist k oder k+1 mit Sicherheit durch 2 teilbar und damit ist der Term durch 4 und durch 2 teilbar und damit durch 8 teilbar.

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Answer 2

Kennst du die dritte binomische Formel?

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ja                                                           

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Gut, dann weißt du ja, dass

$$n^2-1 = (n-1)\cdot(n+1)$$ist. Beide Faktoren sind nach Voraussetzung durch 2 teilbar und da jede zweite durch zwei teilbare Zahl auch durch 4 teilbar sein muss, ist eine von beiden sogar durch 4=2*2 teilbar. Insgesamt muss das Produkt daher durch 2*2*2=8 teilbar sein und der ursprüngliche Term natürlich auch.