Aufgabe:
Berechnen Sie mit Hilfe des Cavalieri-Prinzips
(a) das Volumen des vom einschaligen Rotationshyperboloid \( \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=\right. \) \( \left.1+z^{2}\right\} \) und den Ebenen auf den Höhen \( z=1 \) und \( z=-1 \) begrenzten Rotationskörpers
\( M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid-1 \leq z \leq 1, x^{2}+y^{2} \leq 1+z^{2}\right\}, \)
(b) das Volumen des Tetraeders \( M \subset \mathbb{R}^{3} \) mit den Ecken \( (1,0,0),(-1,0,0),(0,1,2),(0,-1,2) \).
(Tipp: Überlegen Sie in (a), (b) jeweils zuerst, was \( M_{z}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x, y, z) \in M\right\} \) ist.)
Ansatz/Problem:
ich kann mir (a) bildlich vorstellen, es sieht aus wie eine Sanduhr. Die Lösung für (a) ist 8/3pi und für (b) 4/3.
Ich finde leider keine Beispielrechnung für das in der Aufgabe genannte Prinzip. Die Lösungen sind zwar gegeben, aber ich würde gern die Rechenschritte nachvollziehen, um das auf andere Aufgaben zu übertragen.
Danke für jede Antwort! (Erklärungen wären super)
