Vollständige Induktion - Induktionsschritt

Question

Ich komme beim Induktionsschritt nicht wetier.

Hier mein Rechenweg:

 

Answer 1

Zu zeigen

∑ (k = 1 bis n) 3^{n - 1} = 1/2·(3^n - 1)

Induktionsanfang n = 1

∑ (k = 1 bis 1) 3^{n - 1} = 1/2·(3^1 - 1)

3^{1 - 1} = 1/2·(3^1 - 1)

1 = 1 --> stiimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) 3^{n - 1} = 1/2·(3^{n + 1} - 1)

∑ (k = 1 bis n) 3^{n - 1} + 3^{(n + 1) - 1} = 1/2·(3^{n + 1} - 1)

1/2·(3^n - 1) + 3^n = 1/2·(3^{n + 1} - 1)

1/2·3^n - 1/2 + 3^n = 1/2·3^{n + 1} - 1/2

3/2·3^n - 1/2 = 3/2·3^n - 1/2 --> stimmt

Answer 2

das Problem ist, dass du den Summenindex mit den Endwert der Summe verwechselt hast.

Ich nehme an, die Behauptung soll lauten : \(\sum_{k=1}^{n}{3^{k-1}}= \frac { 1}{ 2 }(3^n -1)\)

Beachte, dass: \(\sum_{k=1}^{n}{3^{n-1}}=n*3^{n-1} \) gilt und der Laufindex k in der Summe gar nicht vorkommt und somit die Summe nicht von k abhängig ist.

Ich würde so vorgehen:

IA: \(\sum_{k=1}^{1}{3^{k-1}}= 3^{1-1} = 1 = \frac { 1}{ 2 }(3^1 -1)\)
IV: Die Behauptung gelte für ein festes n aus N
IS:
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{3^{k-1}}=\sum_{k=1}^{n}{3^{k-1} + 3^{n}}\overset{\text{IV}}{\underset{\text{}}{=}} \frac { 1 }{ 2 }(3^{n}-1) +3^{n}= \frac { 3 }{ 2 }3^n -\frac { 1 }{ 2 }  = \frac { 1}{ 2 }(3*3^n-1) = \frac { 1 }{ 2 }(3^{n+1}-1) $$

Comments

Ich habs jetzt wieder versucht und ich habe die Summe falsch aufgespalten,

Ich fange von vorne an,

Es soll gezeigt werden dass folgendes gilt.

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { 3 }^{ n-1 } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n }-1)\quad $$

Dann mache ich im Induktionsanfang und sage, dass es für n=1 gilt.

$$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ { 3 }^{ 1-1 } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ 1 }-1)\quad \\ { 3 }^{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } (2)\\ 1\quad =\quad 1\quad $$

Diese Aussage ist wahr.

Dann will ich in der Induktionsvoraussetzung zeigen, dass der Satz für ein festes n∈ℕ gilt.

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { 3 }^{ n-1 } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n }-1)\quad $$

Damit das obige wahr ist, muss ich zeigen, dass es für n+1 gilt, ich habe ja bereits für n=1 gezeigt dass es stimmt und damit es für jedes Beliebige n∈ℕ gilt, muss ich zeigen dass der Satz für n = n+1 gilt.

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ { 3 }^{ n-1 } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n+1 }-1)\quad $$

Ab hier spalte ich den linken Teil auf und vereinfache die linke Seite.

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { 3 }^{ n-1 } } +\sum _{ k=1+n }^{ n+1 }{ { 3 }^{ n-1 } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n+1 }-1)\quad \\ \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n }-1)\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ (n+1)-1 })\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n+1 }-1)\quad \\ \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n }-1)\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } 3^{ n }\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n+1 }-1)\quad \\ \frac { 1 }{ 2 } ({ 3 }^{ n }-1+3^{ n })\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n+1 }-1)\quad \\ \frac { 1 }{ 2 } ({ 2*3 }^{ n }-1)\quad \neq \quad \frac { 1 }{ 2 } (3^{ n+1 }-1)\quad $$


Okay, ich hab zu viele Aufgaben auf ein mal gelöst und war voll verwirrt, jetz hab ich gesehen, dass ich zuerst hätte per Distributivgesetz reinmultiplizieren können.