Aufgabe:
A 11: \( 5^{2 n}-3^{2 n} \) ist durch 8 teilbar für alle \( n \geq 0 \)
Induktionsanfang: \( n=0: 5^{0}-3^{0}=1-1=0 \) ist durch 8 ohne Rest teilbar.
Induktionsschluss:
\( \begin{aligned} 5^{2(n+1)}-3^{2(n+1)} &=5^{2 n+2}-3^{2 n+2} \\ &=25 \cdot 5^{2 n}-9 \cdot 3^{2 n} \\ &=24 \cdot 5^{2 n}+1 \cdot 5^{2 n}-8 \cdot 3^{2 n}-1 \cdot 3^{2 n} \\ &=\left(5^{2 n}-3^{2 n}\right)+8\left(3 \cdot 5^{2 n}-3^{2 n}\right) \end{aligned} \)
ist durch 8 teilbar, da der erste Summand durch 8 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 8 ist.
Problem/Ansatz:
Moin, kann mir jemand erklären, wie man beim induktionsschluss von der dritten in die vierte Zeile gekommen ist? Danke im voraus!
