Vollständige Induktion, Hilfe gesucht beim Induktionsschritt

Question

 

Also alles bis auf den letzten Schritt ist mir klar, das blöde ist nur, dass in der letzten Reihe in der Summe im Nenner n+2+k steht statt n+1+k, wenn es n+1+k sein würde, hätte ich damit argumentiert, dass nach IV die Summe >13/24 ist und somit die letzte Reihe mit 1/2n+2 , aber es ist nicht so , deshalb weiß ich ja nicht , ob, wenn der Nenner größer wird , dass dann auch der Induktionsschritt >13/24 , ich habe auch versucht die Summe  letzte Reihe umzuformen sodass n+2+k , aber geschafft habe ich es nicht , da es für mich schwierig ist nach dem Nenner umzuformen ... Ich weiß nur n+2+k = n+1+1+k ist , aber das bringt mir auch nicht viel ... Bitte helft mir :(  

Answer 1

Ich hätt' da sone Idee:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\quad \frac 1{n+1+k} $$
$$\sum _{k=0}^{n-1+1}\quad \frac 1{n+1+k} \ge \sum _{k=0}^{n-1}\quad \frac 1{n+1+k}  $$
$$\sum _{k=0}^{n}\quad \frac 1{n+1+k}-\sum _{k=0}^{n-1}\quad \frac 1{n+1+k}  \ge 0 $$
$$ \frac 1{n+1+n}  \ge 0 $$