Wahrscheinlichkeitsrechnung: Bei einer Statistikklausur werden 20 Fragen gestellt

Question

1) Bei einer Statistikklausur werden 20 Fragen gestellt und für jede Frage werden 5 alternative Antworten geboten. Um die klausur zu bestehen, müssen mindesten 10 Fragen richtig beantwortet werden.
Ein Student, der gar keine Ahnung hat, beantwortet die Fragen zufällig.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Klausur besteht?

b) Welche Trefferwahrscheinlicheit muss er besitzen, damit er eine 50%-ige Erfolgswahrscheinlichkeit hat

ich rechne nun schon ewig herum, komm aber nie auf ein wirklich sinnvolles ergebnis.
kann mir kurz wer den rechenweg erklären, dann sollte mir wieder ein licht aufgehen. wäre irrsinnig dankbar :)

Answer 1

1) Bei einer Statistikklausur werden 20 Fragen gestellt und für jede Frage werden 5 alternative Antworten geboten. Um die klausur zu bestehen, müssen mindesten 10 Fragen richtig beantwortet werden. Ein Student, der gar keine Ahnung hat, beantwortet die Fragen zufällig.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Klausur besteht?

∑ (k=10 bis 20) ((20 über k)·0.2^k·0.8^{20 - k}) = 0.26%

b) Welche Trefferwahrscheinlicheit muss er besitzen, damit er eine 50%-ige Erfolgswahrscheinlichkeit hat

p = 0.4754204574

Er sollte zu 47.54% richtig liegen.

Das habe ich aber jetzt mit einem Algebra System lösen lassen. Da habe ich keine herangehensweise.

Comments

ok, kannst du den lösungsweg auch noch erklären ?

ist mir jetzt absolut nicht klar, leider

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Wie gesagt nehme ich bei a) die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für k = 10 bis 20

Bei b) habe ich keinen Ansatz um p wirklich gut ausrechnen zu können.
p muss aber bei ca. 50% liegen. Dann wäre der Erwartungswert 10.

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also das war in der schule definitiv leichter und logischer zu rechnen.

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Ich glaube, so ziemlich alle Antworten von Mathecoach sind logisch ;o)

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es muss aber definitiv leichter zum rechnen sein.

leider hab ich die lösung verloren, argh :(((

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Also das man hier normal mit der Binomialverteilung rechnet darüber sind wir uns einig oder?

Die Formel für k richtige bei der Binomialverteilung ist

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^{n - k}

Weil ich ja 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 oder 20 Aufgaben richtig haben kann, muss ich hier ein wenig aufsummieren.

Ich kann daher für n = 20, p = 0.2 eine Wertetabelle machen

[10, 0.002031413703;
11, 0.0004616849325;
12, 8.656592484·10^{-5};
13, 1.331783459·10^{-5};
14, 1.664729323·10^{-6};
15, 1.664729323·10^{-7};
16, 1.300569784·10^{-8};
17, 7.650410496·10^{-10};
18, 3.187671040·10^{-11};
19, 8.388608000·10^{-13};
20, 1.048576·10^{-14}]

Hier langt es eigentlich die ersten paar Werte zu addieren, weil sich dann nicht mehr viel ändert.

Bei b) habe ich jetzt einfach die Wahrscheinlichkeit p als Variable stehen gelassen und die Summenwahrscheinlichkeit gleich 50% gesetzt. Dann kommt mein Rechner auf die Wahrscheinlichkeit p. Allerdings kann man das schlecht als Gleichung schreiben. Und ohne PC ist das auch so nicht richtig rechenbar. Ich weiß nicht ob man da mit einer Näherung rechnen kann. Ich wüßte momentan nicht mit welcher.