Beweisführung Komposition/ Verkettung von Abbildungen

Question

Ich habe folgende Aufgabestellung udn weiß nicht wie ich die Beweise schreiben soll. Vielleicht kann man es mir an einem oder zwei Beispielen vo unten erklären:

Seien X, Y und Z nichtleere Mengen sowie φ : X → Y und ψ : Y → Z Abbildungen. Zeigen Sie:

(a) Falls sowohl φ als auch ψ injektiv sind, so ist auch  ψ o φ injektiv
(b) Falls sowohl φ als auch ψ surjektiv sind, so ist auch  ψ o φ surjektiv
(c) Falls sowohl φ als auch ψ bijektiv sind, so ist auch  ψ o φ bijektiv. Geben Sie im Falle der Bijektivität von  φ und ψ die Umkehrabbildung (ψ o φ)^-1 an. ---- Wie bestimme ich die Umkehrabbildung????----
(d) Falls ψ o φ injektiv ist, so ist auch φ injektiv
(e) Falls ψ o φ surjektiv ist, so ist auch ψ surjektiv
(f) Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass ψ o φ injektiv ist, nicht aber ψ
(g) Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass ψ o φ surjektiv ist, nicht aber φ

Comments

Zumindest teilweise könnte https://www.mathelounge.de/341930/komposition-von-abbildungen-zeigen helfen.

Answer 1

X, Y und Z nichtleere Mengen sowie φ : X → Y und ψ : Y → Z Abbildungen.

(c) Falls sowohl φ als auch ψ bijektiv sind, so ist auch  ψ o φ bijektiv. Geben Sie im Falle der Bijektivität von  φ und ψ die Umkehrabbildung (ψ o φ)^-1 an. ---- Wie bestimme ich die Umkehrabbildung????----

Der erste Teil ist einfach nur die Zusammenfassung der beiden vorigen Teile(a) und (b).

ψ o φ ist ja eine Abb. von X nach Z .

Und die Umkehrabbildung  (ψ o φ)^-1  ist ja dadurch definiert, dass für alle z∈Z gelten muss:

(ψ o φ)^-1  (z) = x , wenn    (ψ o φ) (x) = z ist.

Sei also z∈Z . Dann gibt es ein x∈X mit    (ψ o φ) (x) = z , weil   (ψ o φ) surjektiv ist.

Auf        (ψ o φ) (x) = z    bzw.     ψ (φ (x) )  = z  kannst du aufbeiden Seiten    ψ ^-1 anwenden;

denn    ψ ^-1  existiert, da   ψ  bijektiv ist.  Das gibt:

            ψ ^-1 (      ψ (φ (x) ) )    )      =       ψ ^-1  (z)

        <=>        φ (x)     =             ψ ^-1  (z)

Da auch    φ bijektiv ist, existiert auch   φ^-1 und das angewandt gibt

 φ^-1 (  φ (x)  )   =        φ^-1   (      ψ ^-1  (z) )  =  ( φ^-1   o     ψ ^-1  ) (z)

also    x =    ( φ^-1   o     ψ ^-1  ) (z)

Damit ist gezeigt:     (ψ o φ)^-1  =  φ^-1   o     ψ ^-1

also die Komposition der Unkehrabbildungen in

umgekehrter Reihenfolge !

Und für die anderen Teile hast du ja schon den Hinweis im Kommetar

erhalten.