Abbildungen - Komposition/Verkettung

Question

ich habe mal wieder ein Aufgabe die ich nicht hinbekomme:

Geg: f₁: ℕ→ℕ, x↦x+1    und      f₂: ℕ→ℕ, 0↦0, 1↦0, 2↦1, 3↦2,....

Ges: a) f₃ :=f_2°f₁    b) f₄ := f_1°f₂      c) f₁^-1     d) f₁(f₁^-1(ℕ))      e) f₂({1,2})         f) f₂^-1(f₂({1,2})

Lsg: bei a) und b) habe ich überhaupt keinen Ansatz. Ich weiß nicht wie ich die beiden Funktionen miteinander verketten soll, wenn ich bei f₂ keinen richtigen Funktionsterm gegeben habe. Ich habe zwar schon versucht einen aufzustellen, aber ich finde keinen für den auch diese "Ausnahme" 0↦0 gilt.

zu c) habe ich f₁^-1: ℕ\{0}→ℕ, x↦x-1              bei d) f₁(f₁^-1(ℕ)): ℕ→ℕ, x↦x

die e) verstehe ich wieder gar nicht :( dementsprechend kann ich f) auch noch nicht lösen

Danke schon mal,

meghan16

Answer 1

a) $$f_2 : 0\mapsto 0 , 1\mapsto 0, 2\mapsto 1, 3\mapsto 2, \dots$$

$$f_1: x\mapsto x+1$$

In f₂ alle Zahlen >0 werden auf die vorherige Zahle abgebildet.

Die Definitionsmenge von f₁ ist ℕ. Also alle Zahlen werden auf die nächste Zahl abgebildet.

f₁ (x)=x+1 Also die Bildmenge ist ℕ_>0 . Also die Definitionsmenge von f₂ bei der Verkettung ist dann ℕ_>0 . Also haben wir dass

$$f_3=f_2(f_1(x))=f_2(x+1)=x$$

Comments

und für f₂=0 , dass darf ich dann einfach weg lassen?

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Wir haben dass x≥0 und f₁(x)=x+1≥1, also hat bei der Verkettung das f₂ in der Definitionsmenge nicht das 0.

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? Das verstehe ich jetzt nicht so richtig. Woher kenne ich den Definitionsbereich von f₃? Oder liegt das daran dass f₁ nie 0 werden kann?

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Die Definitionsmenge von f₃ ist gleich die Definitionsmenge von f_1.  Das f₁ wird aber nie 0 also wird in f₂ nicht der Wert 0 eingesetzt.

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ah, ok, dass hätte uns unser Prof. vielleicht mal sagen sollen. Danke :)

das heißt von f₄ ist die Definitionsmenge 0 ≤ x oder? Also alle natürlichen Zahlen inklusive Null?! Und wie komme ich dann auf den Funktionsterm?

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$$f_4(x)=f_1(f_2(x)), \ x\in D_{f_2}=\mathbb{N}$$

Jedes Element x>0 wird duch f₂ zum vorherigen abbgebildet, x-1, ausser das Element 0.

Wir haben folgendes:

Wenn x>0 dann $$f_4(x)=f_1(f_2(x))=f_1(x-1)=x$$

Wenn x=0 dann $$f_4(0)=f_1(f_2(0))=f_1(0)=1$$