Zeigen Sie, dass ℚ(√2) ein Unterraum von ℝ als ℚ-Vektorraum ist

Question

Sei ℚ(√2) = {x+y√2 ∈ ℚ l x, y ∈ ℚ}.

Aufgabe : Zeigen Sie, dass ℚ(√2) ein Unterraum von ℝ als ℚ-Vektorraum ist

Answer 1

Du musst zeigen, dass

1. (ℚ(√2),+) eine Untergruppe von (ℝ,+) also

1. a) 0∈(ℚ(√2),+) (neutrales Element)

1. b) x,y∈(ℚ(√2),+) ⇒ x+y∈(ℚ(√2),+) (Abgeschlossenheit)

1. c) x∈(ℚ(√2),+) ⇒ x^-1∈(ℚ(√2),+) (inverses Element)

2. xy∈ℚ(√2) ∀ x∈K und y∈ℚ(√2)

Answer 2

Du musst zeigen, dass ℚ(√2) die bezüglich der Operationen +, ·, Kehrwertbildung und Negation abgeschlossen ist und jeweils die neutralen Elemente bezüglich dieser Operationen enthält.

Hier findest du den vollständigen Lösungsweg.

Comments

ein unterraum ist aber was anderes als ein teilkörper? :o

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Ja, das stimmt, das habe ich überlesen.

Allerdings wird es dann noch einfacher:
Zu zeigen ist jetzt nur noch, dass die Menge additiv und bezüglich der Multiplikation mit dem Grundkörper (also ℚ) abgeschlossen ist. Das Produkt auf dem Körper muss nicht mehr betrachtet werden.

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und das heißt jetzt was :D

?

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Du musst zeigen, dass

1. (ℚ(√2),+) eine Untergruppe von (ℝ,+) also

1. a) 0∈(ℚ(√2),+) (neutrales Element)

1. b) x,y∈(ℚ(√2),+) ⇒ x+y∈(ℚ(√2),+) (Abgeschlossenheit)

1. c) x∈(ℚ(√2),+) ⇒ x^-1∈(ℚ(√2),+) (inverses Element)

2. xy∈ℚ(√2) ∀ x∈K und y∈ℚ(√2)

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was bedeutet den dieses "..als ℚ-Vektorraum"? Soll das heißen, dass Q als Vektorraum schon gegeben ist?