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Sei ℚ(√2) = {x+y√2 ∈ ℚ l x, y ∈ ℚ}.

Aufgabe : Zeigen Sie, dass ℚ(√2) ein Unterraum von ℝ als ℚ-Vektorraum ist
von

2 Antworten

+1 Daumen

Du musst zeigen, dass

1. (ℚ(√2),+) eine Untergruppe von (ℝ,+) also

1. a) 0∈(ℚ(√2),+) (neutrales Element)

1. b) x,y∈(ℚ(√2),+) ⇒ x+y∈(ℚ(√2),+) (Abgeschlossenheit)

1. c) x∈(ℚ(√2),+) ⇒ x-1∈(ℚ(√2),+) (inverses Element)

2. xy∈ℚ(√2) ∀ x∈K und y∈ℚ(√2)

von 2,5 k
0 Daumen

Du musst zeigen, dass ℚ(√2) die bezüglich der Operationen +, ·, Kehrwertbildung und Negation abgeschlossen ist und jeweils die neutralen Elemente bezüglich dieser Operationen enthält.

Hier findest du den vollständigen Lösungsweg.

von 10 k
ein unterraum ist aber was anderes als ein teilkörper? :o
Ja, das stimmt, das habe ich überlesen.

Allerdings wird es dann noch einfacher:
Zu zeigen ist jetzt nur noch, dass die Menge additiv und bezüglich der Multiplikation mit dem Grundkörper (also ℚ) abgeschlossen ist. Das Produkt auf dem Körper muss nicht mehr betrachtet werden.
und das heißt jetzt was :D

?

Du musst zeigen, dass

1. (ℚ(√2),+) eine Untergruppe von (ℝ,+) also

1. a) 0∈(ℚ(√2),+) (neutrales Element)

1. b) x,y∈(ℚ(√2),+) ⇒ x+y∈(ℚ(√2),+) (Abgeschlossenheit)

1. c) x∈(ℚ(√2),+) ⇒ x-1∈(ℚ(√2),+) (inverses Element)

2. xy∈ℚ(√2) ∀ x∈K und y∈ℚ(√2)

was bedeutet den dieses "..als ℚ-Vektorraum"? Soll das heißen, dass Q als Vektorraum schon gegeben ist?

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